Алгебраические системы - Мальцев А.И.
Скачать (прямая ссылка):
(Aia) ? - A1 (a?) (A1 <= А). Поэтому вместо (^ia)? и A^afi) обычно пишут .^a?.
Как и ранее, символами іл, ів обозначим отношения равенства соответственно на множествах А и В. По понятным причинам говорят, что отношение а, определенное на паре А, В, есть частичное мультиотображение из А в В,
определенное на А, если u s aa"1, точное, если aa-1 S ід,
однозначное, если a-1a S ів-
В частности, отношение a есть обычное отображение А в В, если а — отношение, определенное на Л и однозначное. Частичное отображение из А в В есть однозначное частичное мультиотображение из А в В.
Множества вида Ъа~1 и аа (Ь ? В, а ? А) называются смежными классами А по a и В по а-1. Фактор-множествами Ala и В/а~1 называются множества, элементами которых являются смежные классы А по а и В по а-1.
Легко заметить, что объединение всех смежных классов А по а есть область определенности частичного
3 А. И. Мальцев 34
ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ
[Гл. I
мультиотображения а. Она может и не совпадать с А. Смежные классы Afa могут частично налагаться друг на друга, и потому совокупность их в общем случае не обязана быть разбиением области определенности а. Рассмотрим, например, отношение а, определенное на множествах
А = {0, 1, 2, 3}, В = {а, Ъ, с}
и состоящие из пар (0, а), (О, Ь), (1, а), (2, Ъ). Область определенности а есть
Ba-1 = {0, 1, 2}, а совокупность Ala состоит из смежных классов аа~1 = {0, 1}, Ъа~1 = {0, 2},
имеющих общий элемент 0.
Отношение а на паре множеств А, В называется дифункциональным, если для любых а, ? А и Ъ, bt Q В из aabif alabl, a^ab следует aab, т. е. если
аа"1 а ? а.
Так как всегда а = аа~га, то отношение а дифункцио-нально тогда и только тогда, когда аа~га — а.
Теорема 1 (Риге [53]). Если для отношения а, определенного на паре множеств А, В, различные смежные классы А по а или различные смежные классы В по а-1 попарно не пересекаются, то отношение а дифункцио-налъно. Если отношение а дифункционально, то различные смежные классы А по а и различные смежные классы В по а-1 попарно не пересекаются.
Пусть различные смежные классы А по а попарно не пересекаются и aabu atabi, aiab (a, 6 A; b, S1 ? В). Так как oj ? bar1, aj Є bіог1, то йог1 — Zj1OT1. Но a Q ^1Ot-1. Поэтому a E bor1, aab, т. е. а дифункционально. Случай, когда не пересекаются смежные классы В по а'1, рассматривается аналогично, так как условия аа~1а = а и а^аог1 = а-1 равносильны.
Обратно, пусть отношение а дифункционально и для некоторых a, av Q А аа{\ atа Ф 0, т. е. для подходящего bi Q В имеем aabi, A1Cxfc1. Если b ? ata, то в силу дифунк-циональности а получим Ъ Q аа, т. е. ata = аа. Аналогично устанавливается и включение аа = fl^a. Теорема доказана. ОТНОШЕНИЯ И ОТОБРАЖЕНИЯ
35
Рассмотрим теперь произвольное дифункциональное отношение а на паре множеств А, В. Смежный класс B1 ? Bfa'1 назовем образом смежного класса A1 ? А/а (рис. 1), если найдутся элементы at ? A1, bt ? B1, связанные соотношением а^аЪ^ Согласно теореме 1 из O^afr1 вытекает, что для любых а ? A1, Ъ ? B1 отношение aab истинно. Поэтому установленное отображение А/а в В/а'1 не зависит от выбора представителей alt bt и является
Рис. 1.
взаимно однозначным отображением А /а на В/а'1. Оно называется каноническим отображением А/а на В/а'1, индуцированным отношением а.
Обратно, пусть задана произвольная система S попарно не пересекающихся непустых подмножеств множества А и система T попарно не пересекающихся непустых подмножеств множества В. Кроме того, предположим, что существует взаимно однозначное отображение о системы S на систему T• Обозначим через а совокупность таких пар (а, Ь), что а ? A1 ? S, b ? A1G ? T. Легко убедиться, что так определенное отношение а дифункционально, Ala = S, Bfa'1 = T и a — каноническое отображение Afa на Bfa'1, индуцированное отношением а.
Изложенное показывает, что дифункциональные отношения — это отношения, порождаемые взаимно однозначными соответствиями между системами попарно не пересекающихся подмножеств заданных множеств А, В.
1.7. Мощности и порядковые числа. Каждому множеству А поставим в соответствие объект | А |, называемый мощностью этого множества, так, что | А | = | В | тогда
3* 36
ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ
[Гл. I
и только тогда, когда существует взаимно однозначное отображение множества А на множество В. В частности, пустому множеству 0 поставим в соответствие в качестве мощности число 0, а множеству {al7 . . ., ап}, состоящему из п элементов (п = 1, 2, . . .),— число п.
Мощности множеств называются также кардинальными числами или просто кардиналами. Мощность множества всех натуральных чисел принято обозначать х0 (алеф-нуль), а мощность множества всех действительных чисел — N (алеф). Мощность к называется также мощностью континуума. Множества мощности X0 называются счетными.
Пусть а=|Л|,'Ь=|1?|. Положим а 6, если существуют взаимно однозначное отображение множества А в множество В. Легко проверить, что это определение не зависит от выбора множеств А, В и поэтому выражает отношение между кардинальными числами.
