Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Лоуcон Ч. -> "Численное решение задач метода наименьших квадратов" -> 7

Численное решение задач метода наименьших квадратов - Лоуcон Ч.

Лоуcон Ч., Хенсон P. Численное решение задач метода наименьших квадратов: учебное пособие. Под редакцией Тыртышникова Е.Е. — М.: Наука, 1986. — 232 c.
Скачать (прямая ссылка): louson_h_chisl_resh_zmnk.djvu
Предыдущая << 1 .. 2 3 4 5 6 < 7 > 8 9 10 11 12 13 .. 88 >> Следующая

представлена произведением HRK1', где R - некоторая прямоугольная матрица, ненулевые элементы которой сосредоточены в невырожденной треугольной подматрице. Мы покажем здесь, что зту невырожденную подматрицу R можно еще более упростить так, чтобы она стала невырожденной диагональной матрицей. Получаемое в результате разложение особенно полезно при анализе влияния ошибок входной информации на решение задачи НК.
Это разложение тесно связано со спектральным разложением симметричных неотрицательно определенных матриц А ТА иААт. Стандартные факты, касающиеся спектральных разложении симметричных неотрицательно определенных матриц, приведены в приложении А.
Теорема 4.1 (сингулярное разложение). Пусть А - m X п-матрица ранга к. Тогда существуют ортогональная тп X тп-матрица U, ортогональная п X п-матрица V и диагональная тп X п-матрица S*) такие, что
UTAV = S, A=USVT. (4.2)
Матрицу S можно выбрать так, чтобы ее диагональные элементы составляли невозрастающую последовательность; все эти элементы неотрицательны и ровно к из них строго положительны.
Диагональные элементы S называются сингулярными числами А. Будет удобно дать доказательстве теоремы 4.1 вначале для специального случая
*) То есть m X л-матрица 5 такая, что !ц Ф 0 -» i = /. (Примеч. пер.)

т -п = rank А. Более общее утверждение легко следует из этого специального случая.
Лемма 4.3. Пусть А - п X п-матрица ранга п. Тогда существуют ортогональная иХ п-матрица U, ортогональная п X п-матрица V и диагональная яХ п-матрица S такие, что
UTAV = S, A=USVT (4.4)
и последовательные диагональные элементы S положительны и не возрастают.
Доказательство. Положительно определенная симметричная матрица А ТА допускает спектральное разложение
ATA = VDVT, (4.5)
где V — ортогональная п X п-матрица, a D - диагональная матрица, причем диагональные элементы D положительны и не возрастают.
Определим S как диагональную л X n-матрицу, диагональные элементы которой суть положительные квадратные корни из соответствующих диагональных элементов D. Таким образом,
D=STS = S2, (4.6)
S-lDS-l=I„. (4.7)
Определим и X л-матрицу
U = AVS-1. ' • ^ (4.8)
Из (4.5), (4.7), (4.8) и ортогональности V следует, что
UTU = S-lVTATAVS-1 =SlDSl =/„, (4.9)
т.е. U ортогональна. -v
Из (4.8) и того обстоятельства, что V ортогональна, выводам
USVT=AVS-lSVT=AVVT=A. ¦ (4.10)
Лемма 4.3 доказана.
Доказательство теоремы 4.1. Пусть
А = HRK т, (4.11)
где H,R,KT имеют свойства, указанные в теореме 3.19.
Так как k X А:-матрица Rt i из (3.21) невырождена, то согласно лемме 4.3, можно написать
Ril=USVT. (4.12)
Здесь U и V - ортогональные к X А:-матрицы, a S — невырожденная диагональная матрица, диагональные элементы которой положительны и не возрастают.
Из (4.12) следует, что матрицу R уравнения (3.21) можно записать в виде
R=USVT, (4.13)
2* 1»
л
где U - ортогональная т X т-матрица:
о-\00 1,
(4.14)
Л
V - ортогональная п Хл-матрица:
(4.15)
н S - диагональная т X п-матрица:
(4.16)
Теперь, определяя U и V формулами
U = HU,
V = KV,
Л
(4.17) (4.18)
заключаем из (4.11)-(4.18), что г.
A=USVT, (4.19)
где U, S и V имеют свойства, указанные в формулировке теоремы 4.1. Это завершает доказательство.
Заметим, что сингулярные числа матрицы А определены однозначно несмотря на то, что в выборе ортогональных матриц U и V из (4.19) есть произвол. Пусть о - сингулярное число А, имеющее кратность /. Это значит, что для упорядоченных сингулярных чисел найдется индекс i такой, что
a~sj, / = i, i+ 1.....i+1-l,
оФ$), /<(' или j>i+ 1.
В n-мерном пространстве /-мерное подпространство Т, натянутое на столбцы v,-, /=/,...,/ + / — 1, матрицы V, определено однозначно; однако однозначности нет при выборе ортогонального базиса в Т, каковым являются названные столбцы V.
Более точно, положим к = min (m, n), и пусть Q — ортогональная к X А:-матрица вида
0 0
0 р 0
0 0
Здесь Р - ортогональная / X /-матрица. Если А = USV — сингулярное разложение А и st = ... =S/+/_i, то USVT, где
также будет сингулярным раможвшимЛ.
20
В следующем числ цы А вида (3.23) :
сингулярное {«моя
A =U
U =
5 =
[о]
матра-
(420)
- \-°> | - о,
- 0,4347
- 0,5509
- 0,7125 0,9965 0,0
8626
0,6141 - 0,7599 0,2129 0,0 1 0,1128 J ' 0,5058 1
0,6587 0,3450 0,6687.
5058 - 0,8626 J
Упражнения
4.21. Если А - симметричная л х л-матрица н ее сингулярные числа различны, то:
a) (действительные) собственные значения А различны;
b) с помощью сингулярного разложения матрицы А можно найти ее спектральное разложение, и наоборот.
Что можно сказать о случае, когда среди сингулярных чисел имеютси кратные?
4.22. Если s, - наибольшее сингулярное число А, то \\А II = J,.
4.23. Если R - невырожденная л X л-матрица и s„ - ее наименьшее сингулярное число, то II R'1 II =*л'-
4.24. Пусть J| и s„ - соответственно наибольшее и наименьшее сингулярные числа т х л-матрицы А ранга л. Показать, что для любого л-вектора х
s„ || х II < II Ах || < j, || х ||.
4.25. Пусть .....!к - ненулевые сингулярные числа А. Тогда
Предыдущая << 1 .. 2 3 4 5 6 < 7 > 8 9 10 11 12 13 .. 88 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed