Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Лоуcон Ч. -> "Численное решение задач метода наименьших квадратов" -> 68

Численное решение задач метода наименьших квадратов - Лоуcон Ч.

Лоуcон Ч., Хенсон P. Численное решение задач метода наименьших квадратов: учебное пособие. Под редакцией Тыртышникова Е.Е. — М.: Наука, 1986. — 232 c.
Скачать (прямая ссылка): louson_h_chisl_resh_zmnk.djvu
Предыдущая << 1 .. 62 63 64 65 66 67 < 68 > 69 70 71 72 73 74 .. 88 >> Следующая

Полупространство — зто множество векторов, лежащих по одну сторону от гиперплоскости, т.е. множество вида {х: итх > d) . Многогранником называется пересечение конечного числа полупространств, т.е. множество вида {х: uf х > d,,i= 1, ...,m> или, что эквивалентно,вида {х: Ux>d), где U - m X л-матрица со строками uj, d - m-вектор с компонентами dt и неравенство интерпретируется поэлементно.
Элементы ац матрицы А называются ее диагональными элементами. Множество всех элементов аи называется главной диагональю А. Если все прочие элементы А нулевые, то А - диагональная матрица. Если aVj = О для 11 — / | > 1, то А — трехдиагональная матрица.
Если ati = 0 для/ < i и / > i + 1, то матрица А верхняя двухдиагональная. Если ац = 0 для-/ < /', то матрица А верхняя треугольная. Если at- = 0 для / < i - 1, то матрица А верхняя хессенбсргова. Если А т - верхняя двухдиагональная, треугольная или хессенбергова матрица, то А — соответственно нижняя двухдиагональная, треугольная или хессенбергова матрица.
Квадратная диагональная л X л-матрица, все диагональные элементы которой равны единице, называется единичной матрицей и обозначается /„или просто /.
Если ВА = /, то матрица В левая обратная для А. Матрица Am х п имеет левую обратную матрицу тогда и только тогда, когда гапкЛ = п <ги. Левая обратная матрица единственна в том и только том случае, если rank А =л =т. Операция транспонирования позволяет аналогичным образом определить правую обратную матрицу.
Если матрица А квадратная и невырожденная, то существует матрица, обозначаемая А, которая одновременно является единственной левой обратной и единственной правой обратной для А. Она называется обратной матрицей для А
Обобщением понятия обратной матрицы является псевдообратная матрица, которую обозначают через А * . Псевдообратная матрица однозначно определена для любой m X и-матрицы Л и совпадает с обычной обратной матрицей, если матрица А квадратная и невырожденная. Пространства строк и столбцов у А * те же, что и у А т. Понятие псевдообратной матрицы, тесно связанное с задачей наименьших квадратов, определяется и обсуждается в гл. 7.
Квадратная матрица Q называется ортогональной, если QTQ = /. Из единственности обратной матрицы следует, что и QQT -1.
Система векторов называется ортонормальной, если векторы этой системы попарно ортогональны и имеют единичную евклидову длину. Ясно, что система столбцов ортогональной матрицы ортонормальная, и такова же система ее строк.
183
Если QmXn, m > n, имеет ортонормапьиые столбцы, то \\Q\\ = 1, \\Q\\F = и1/2, \\QA\\ = || Л || и \\QA\\F = ПЛИ,.. Если emX„, m <и, имеет ортонормапьиые строки, то НбН = 1, \\Q\\F = ml/2, MQ|| = \\А || и М GHf = IM II/г • Заметим, что ортогональная матрица (?„х„ удовлетворяет обоим этим наборам условий.
Некоторые конкретные ортогональные матрицы, полезные в вычислениях, - это матрица вращения (Гивенса)
[cos в sin в 1 -sinfl cosflj' матрица отражения (Гивенса)
[cosб sin в 1 sin б —cos 0 J
и матрица отражения (Хаусхолдера) т
ии
Я = /-2 -,
Ни II2
где и — произвольный ненулевой вектор.
Матрица перестановки — это квадратная матрица, столбцы которой получаются перестановкой столбцов единичной матрицы. Матрица перестановки ортогональна.
Квадратная матрица А называется симметричной, если Ат = А. Симметричная матрица имеет спектральное разложение вида
А = QEQT,
где Q — ортогональная матрица, а Е — (действительная) диагональная матрица. Диагональные элементы Е суть собственные значения А, а столбцы Q - собственные векторы А. При этом /-й столбец qf матрицы С относится к /-му собственному значению еу;- и выполнено равенство A q- = e^qf. Матрица А - е~1 вырождена. Собственные значения симметричной п X п-матрицы А определены однозначно. Если среди п собственных значений А число X встречается m раз, то однозначно определено m-мерное подпространство, натянутое на m собственных векторов (столбцов 0, относящихся к X. Оно называется собственным подпространством А, относящимся к собственному значению X.
Симметричная матрица положительно определена, если все ее собственные значения положительны. Положительно определенная матрица Р характеризуется также тем свойством, что х тРх > О для всех х Ф 0.
Симметричная матрица S неотрицательно определена, если все ее собственные значения неотрицательны. Такая матрица обладает свойством х TSx > 0 для всех х Ф 0.
Для произвольной m X я-матрицы А матрица S = АтА симметрична и неотрицательно определена. Она положительно определена, если rank А =п.
Инвариантное подпространство квадратной матрицы А - это такое подпространство Т, что из х ? Т следует Ах ? Т. Если S — симметричная матрица, то каждое инвариантное подпространство S есть оболочка некоторой системы собственных векторов S, и, обратно, оболочка любого множества собственных векторов S является инвариантным подпространством для S.
184
Симметричная матрица Р называется проекционной матрицей, если все ее собственные значения равны единице или нулю. Матрица Р называется идемпотентой, если Р2 = Р (эквивалентно Р(1-Р) -0). Матрица Р является проекционной матрицей в том и только том случае, если Р — симметричная идемпотента.
Предыдущая << 1 .. 62 63 64 65 66 67 < 68 > 69 70 71 72 73 74 .. 88 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed