Численное решение задач метода наименьших квадратов - Лоуcон Ч.
Скачать (прямая ссылка):
вывести, что числа 5^'\ определяемые формулой (27.53), положительны.
Умножение на F(,), указанное в (27.50), можно выразить целиком в действительной арифметике:
rjP-oMr!;-"(27.57)
W/(0 = _ т(0Г/('-1) + 0(0U/('-i), , = /,...,„. (27.58)
Способ построения F^ гарантирует выполнение условий гп=р^ и Далее легко проверить, что 0**^=0, каждая матрица r о верхняя треугольная, f^tf^ = i и
И-
Тем самым r удовлетворяет всем требованиям, предъявляемым к матрице r, т.е. r есть верхний треугольный множитель Холесского для матрицы с из (27.34).
rtr = I I ¦ I I . (27.59)
178
На практике потенциальная внутренняя неустойчивость задачи удаления •данных может проявляться в потере значащих цифр при вычитании в формуле (27.53), а также в больших величинах множителей о*'* и т('* в формулах (27.57) и (27.58).
В работах Джентльмена [65,66] отмечено, что модификации метода Гивенса, в которых выделен массив для хранения квадратов масштабирующих строчных множителей, особенно хорошо приспосабливаются к методу 3 удаления строк. Простое допущение отрицательных значений для квадратов масштабирующих множителей позволяет представлять
строки с чисто мнимым масштабированием, например ivT в (27.48). Если для d% в (10.31) и йг в (10.33) допускаются не только положительные, но и отрицательные значения, то метод, описываемый формулами (10.31) — (10.44), сможет обрабатывать как приписывание, так и удаление данных. Заметим, что для отрицательных значений d2 величина / из (10.35) уже не обязана находиться в отрезке [0,1]; поэтому предотвращение машинных нулей и переполнений в D и В становится более сложной задачей.
Упражнения
27.60(37]. а) Показать, что числа <Л ' и т(' в формулах (27.55) и (27.56) можно интерпретировать соответственно как секанс и тангенс некоторого угла в
Ь) Показать, что эти углы в ^ совпадают с углами преобразований Гивенса
С^ (с^ = cos в^'\ = sin в^), которые участвуют в процессе приведения матри-
цы Л, окаймленной строкой v , к треугольному виду R; этот процесс можно описать равенством
. С
-Л
НА
с) Показать, что при прежней трактовке чясая 0*4 c^f Щ, ffi значение то (27.58) можно вычислить по формуле
„(') = _,(') (')+с(о «-и 1 , :i
27.61. Показать, что метод 3 удаления строк теоретически можно распространить на общий случай rank С - 1 < tank С < rank С = к < л, опираясь на следующие замечания. (Мы продолжаем придерживаться заключенного в начале § 5 соглашения, что все А: диагональных элементов R ненулевые.)
а) Если 8 О неположительно для некоторых индексов / из последовательности 1,.... it, то пусть Л - первый такой индекс, т.е. 6(Л) < 0, и если Л # 1, то 6 > 0 для 1</<Л. Показать,что 6= 0. (Л-i) (Л-1)
Ь) Если индекс h определен, как в п. а), то vh
е = 1. Показать, что в этом случае верны и соотношения vjh = erffj l\j-h + l,...
с) При прежнем определении индекса Л показать, что на шаге я алгоритм можно
закончить, принимая в качестве конечной матрицы R матрицу R^h~l\ в которой строка h заменена нулевой строкой.
12»
179
ПРИЛОЖЕНИЕ А
ОСНОВЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ
В этом приложении мы перечислим основные используемые в книге факты линейной алгебры, не пытаясь представить логически завершенный набор понятий. Наша цель - кратко ввести лишь те понятия, которые прямо связаны с излагаемым в книге материалом.
Для действительного числа х положим " ' -
Под п-вектором х мы понимаем упорядоченный набор и (действительных) чисел Jti.....х„; тХ л-матрица А - это прямоугольный массив (действительных) чисел, имеющий т строк и п столбцов. Элемент, стоящий на пересечении i-к строки и /-го столбца, обозначается через ац. Для т X w-матрицы А мы часто используем символ АтУп.
Транспонированной для т X w-матрицы А называется и X ш-матрица,
обозначаемая через АТ, элемент которой, стоящий на пересечении i-й строки и/-го столбца, равен ац.
Произведение m X л-матрицы А к IX ^-матрицы В, записываемое как АВ, определено лишь при / = «. В этом случае С = АВ есть тХАг-матри-ца с элементами
Часто бывает удобно рассматривать n-вектор как п X 1-матрицу. В частности, таким путем можно определить произведение матрицы на вектор.
Часто бывает удобно, напротив, считать m X и-матрицу составленной из m л-векторов — ее строк — или я w-векторов — ее столбцов.
Скалярное произведение (называемое также внутренним произведением) двух «мерных векторов и и и определяется фомулой
п
s = uTv = 2 u.Vj. i = i
Два вектора ортогональны друг другу, если их скалярное произведение равно нулю.
Евклидова длина, или евклидова норма, или 12-норма вектора v обозначается через || и II и определяется как ¦ '¦
v
Л
/= ? aipbpl.
р = 1
180
Эта норма удовлетворяет неравенству треугольника
II и + v || < || и || + || v || и обладает свойствами положительной однородности
Нам || = lot | Hull *
(здесь а - число, а и - вектор) и положительной определенности:
II и || > 0. если и Ф О, || ы || = 0, если ы = 0. Эти три свойства характеризуют абстрактное понятие нормы.
Спектральная норма матрицы А обозначается через М || и определяется как
