Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Лоуcон Ч. -> "Численное решение задач метода наименьших квадратов" -> 6

Численное решение задач метода наименьших квадратов - Лоуcон Ч.

Лоуcон Ч., Хенсон P. Численное решение задач метода наименьших квадратов: учебное пособие. Под редакцией Тыртышникова Е.Е. — М.: Наука, 1986. — 232 c.
Скачать (прямая ссылка): louson_h_chisl_resh_zmnk.djvu
Предыдущая << 1 .. 2 3 4 5 < 6 > 7 8 9 10 11 12 .. 88 >> Следующая

Лемма 3.17. Пусть [R:T\ - к X п-матрица, причем R имеет ранг к. Существует ортогональная п X п-матрица W такая, что
[R:T]W= [R:0], " (3.18)
л
где R - нижняя треугольная матрица ранга к. U
Лемма 3.17 вытекает из теоремы 3.15, если отождествить величины п, к, [R:T\, W из формулировки леммы с соответствующими величинами т, п, АТ, QT теоремы3.15.
Используя лемму 3.17 вместе с теоремой 3.15, можно доказать следующую теорему.
Теорема 3.19. Пусть А - тп X п-матрица ранга к. Найдутся ортогональная тп X тп-матрица Н и ортогональная п X п-матрица К такие, что
Н ТАК = R, А = HRK т, (3.20)
где
-[?¦ :]¦
(3.21)
причем R11 - невырожденная треугольная k X к-матрица.
Заметим, что выбором Н иК в уравнении (3.20) можно добиться, чтобы Ri j в (3.21) была верхней или нижней треугольной.
Подведем итоги. Было показано, что существуют конструктивные процедуры для получения ортогональных разложений вида А = HRK т для всех шести случаев, изображенных на рис. 1.1. Во всех случаях подматрица Ri j ранга к из теоремы 2.3 будет получена в треугольной форме. Поэтому вычислить решение уравнения (2.7) будет совсем просто.
Как уже отмечалось, в случаях 1а и 2а в качестве матрицы К т разложения можно взять единичную матрицу /„. Точно так же в случае За в качестве Я можно взять единичную матрицу Im.
С целью иллюстрации этих ортогональных разложений мы приведем численный пример для каждого из шести случаев рис. 1.1.
Случай 1а. Квадратная невырожденная матрица:
m=n=3, rank/4=3, QA =R.
(3.22)
0,4800 - 0,4129
б = | 0,6616 - 0,7498
-0,5761 -0,5170
[0,4087 0,1593
0,3515 0,9665
0,6590 0,9343
[-0,8514 - 1,1987
0,0 - 0,6289 0,0 0,0
Случай 2а. Матрица переопределена и т = 3, и = 2, rank/1 = 2. Г R
QA =
имеет
Полный
ранг:
(3.23)
- 0,4744 0,5840
- 0,6587
- 0,4993
- 0,7947
- 0,3450
- 0,7250 0,1652 0,6687
15
А =
0,4087 0,4302 0,6246 -0,8615 0,0
0,1594 0,3516 0,3384
- 0,4965 "I
-0,1304 J '
Случай За. Матрица недоопределена и имеет полный ранг:
m = 2, и = 3, rank А = 2.
AQ=[R0],
<2 =
0,4087 0,4301 0,6246]
0,1594 0,3515 C3384J '
- 0,4744 0,5840 - 0,6587
- 0,4993 - 0,7947 - 0,3450
- 0,7250 0,1652 0,6687
- 0,8615 0,0 1
- 0,4965 - 0,1304 ]
R =
Случай lb. Квадратная вырожденная матраце: m = и = 5, rank А =3. R О
QAK
А =
к*
о о
¦- 0,0986 0,3748
- 0,1244 0,2401
. 0,8813
0,1376 0,9665 0,8285 0,0728 0,5500
"- 0,9660 0,1279
- 0,0709 0,0726
.- 0,2002
1,4446
0,0
0,0
- 0,6926 0,0072 0,2438
- 0,6653 0,1351
0,4086 0,6246 0,0661 0,3485 0,9198
0,0 , г- 0,6389 0,1861
- 0,4109
- 0,6231
1,6867 - 1,3389 0,0
- 0,5937
- 0,5424
- 0,3484 0,4813
- 0,0160
0,1594 0,3383 0,9112 0,8560 0,0080
0,0 0,0
- 0,8383
- 0,5354 0,1027
1,2530
- 0,1486 1,1831
- 0,0522 0,3529
- 0,8633
- 0,2980
- 0,1966
0,4390 0,7221 0,6266 0,8348 0,7610
0,0569
- 0,4688
- 0,4806 0,7253
-0,1411
- 0,3941" 0,6639 0,2419 0,4234
- 0,4076.
0,4113 0,8746 0,2327 0,2474 1,0506_
- 0,25201
- 0,5963 0,1632
- 0,1144 0.7357J
Случай 2b. Переопределенцмя матрица неполного ранга:.
т=6, и = 5, rank А =3. , (3.26)
QAK
А =
-[.:]¦
- 0,0894 0,3768
- 0,1235 0,3354 0,7849
- 0,3259
0,1376 0,9667 0,8286 0,0728 0,5501 .0,6498
0,9846 0,1343 0,0177
- 0,0467
- 0,1006
- 0,6279 0,0510 0,2301
-0,6906 0,1389
- 0,2324
0,4087 0,6246 0,0661 0,3485 0,9198 0,2725
- 0,5382
- 0,4986
- 0,3633 0,4092
-0,1992 -0,3500
0,1593 0,3384 0,9111 0,8560 0,0080 0,3599
- 0,0473 0,3522
- 0,8609
- 0,2991
- 0,1088 0,1768
0,4308 0,8397 0,7495 0,8068 0,7910 0,5350
- 0,3573 0,6813 0,2386 0,3539
- 0,4751 0,0153
0,4163' 0,8029 0,1577 0,2644 1,0323 0,3801.
- 0,4221"
- 0,1360 0,0417 0,1685 0,2956 0,8281.
0,0
0,6392 0,1650 0,3820 0,6468
0,0 0,0
0,8460 0,5248 0,0942
0,0868 0,4230 0,4808 0,7488 0,1469
- 0,1520"
- 0,6281 0,1598
-0,1256 0,7356
R =
С л у ч
m =4,
QAK =
1,5636 1,7748 1,4574 0,0 - 1,3537 -0,1233
0,0 0,0 1,1736
а й ЗЬ. Недоопределенная матрица-п = 5, rank А =3.
(3-27)
L о о]'¦
Q
- 0,9757 0,0103 0,1390 й - 0,1693 0,0 - 0,9989 0,0298 - 0,0363 0,0 0,0 ..,-0,7729 - 0,6345
-0,2193 - 0,0458 v-0,6184 0,7533
0,4087 0,1593 0,6594 0,4302 0,3516
0,6246 0,3383 , 0,6591 0,9342 0,9038
0,0661 0,9112 0,6898 0,1931 0,1498
0,2112 0,8150 0,7983 0,3406 0,28ОЗ_
2.4. Лоусон
0,4225 0,0249 0,3156 - 0,0047 - 0,8493"
- 0,1647 -0,1529 - 0,9349 - 0,0530 - 0,2696
- 0,6816 0,6377 - 0,0851 0,1253 0,3254
-0,4447 - 0,4483 0,1187 - 0,7222 0,2561
_- 0,3634 - 0,6070 0,0713 0,6782 0,1858_
"0,9915 0,0 0,0
R = 1,5246 0,5840 0,0
1,2573 - 0,1388 1,1077.
Упражнении
3.28. Найти спектральное разложение матрицы Хаусхолдера Н -1 - 2н>н> , II w II - 1.
3.29. Найти спектральное разложение ма1рицы отражения Гивенса из (3.10).
3.30. Показать, что G из (3.10) является матрицей Хаусхолдера.
ГЛАВА 4
ОРТОГОНАЛЬНОЕ РАЗЛОЖЕНИЕ ПОСРЕДСТВОМ СИНГУЛЯРНОГО РАЗЛОЖЕНИЯ
В этой главе будет описано еще одно практически полезное ортогональное разложение т X n-матрицы А. В предыдущей главе матрица А была
Предыдущая << 1 .. 2 3 4 5 < 6 > 7 8 9 10 11 12 .. 88 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed