Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Лоуcон Ч. -> "Численное решение задач метода наименьших квадратов" -> 58

Численное решение задач метода наименьших квадратов - Лоуcон Ч.

Лоуcон Ч., Хенсон P. Численное решение задач метода наименьших квадратов: учебное пособие. Под редакцией Тыртышникова Е.Е. — М.: Наука, 1986. — 232 c.
Скачать (прямая ссылка): louson_h_chisl_resh_zmnk.djvu
Предыдущая << 1 .. 52 53 54 55 56 57 < 58 > 59 60 61 62 63 64 .. 88 >> Следующая

10";
1
10"2 10"4
Рис. 26.2. Нормы невязок и нормы решений для ряда значений параметра стабилизации \ в методе Левенберга -Марквардта
Рис. 26.3. Компоненты решении и норма невязки как функции от X. ^
о-4
х о
Ч?
-8
0,1
о 0,01
0,001
-, | , .



-
I 1
10"8 W"
1000
1(Г4 10-г 1 0,1 1 10 100
А Норна решения
Рис. 264. Те же данные, что и на рис. 26.3, при уменьшенном масштабе по вертикальной оси
Рис. 26-5. Пробные решения полученные в сингулярном анализе, в сопоставлении с континуумом решений Левенберга-Марквардта
так как ||х(3) II < ||х*4* II, а норма невязки, соответствующей х^', лишь незначительно меньше нормы невязки для .
Хотя все четыре метода выбора предпочтительного решения дс**^ привели нас к одному и тому же вектору х *3*, так будет не для любых исходных данных. Пользователь должен решить, какой из этих критериев (а возможно, и какой-то иной) наиболее подходит для его задачи.
Интересно сравнить эти результаты с результатами, которые дают для той же задачи другие методы стабилизации решений. Анализ Левенберга-Марквардта (гл. 25, § 4) приводит к континууму пробных решений. На рис. 26.1 показана информация, нужная для применения метода
157
леиениер-! И—МЛрквардта. с ее помощью можно вычертить график (рис. 26.2), демонстрирующий зависимость между RNORM и YNORM. Согласно теореме 25.49, зта кривая будет на плоскости переменных (YNORM - RNORM) граничной линией для области, соответствующей нашей задаче: для любого вектора у точка с координатами (\\у ||, \\b-Ay ||) лежит на кривой или выше ее.
Более детальную информацию дает вычисление в соответствии с (25.46), (25.38) и (25.35) и составление графиков отдельных компонент решения как функций от X. Рис. 26.3, 26.4 показывают такие графики для данного примера. Этот тип графиков подробно обсуждается в [99].
На рис. 26.5 дано сопоставление норм решений и невязок для пяти пробных решений, полученных методом сингулярного анализа, с соответствующими данными для континуума решений Левенберга-Марквардта.
К этому же примеру мы применили алгоритм HFTI. Величины диагональных элементов треугольной матрицы R, к которой трансформируется матрица А, равны 0,52, 0,71-Ю-1, 0,91 • 10"1, 0,14 • 10"\ 0,20-10_6. Интересно отметить, что эти значения отличаются от соответствующих син-
Та блица 26.2
Нормы решений и иевяэок метода HFTI для иллюстративной задачи
к И,«1 lift - А:(к) II * Пг(*>11 lift - А:<к)\\
1 0,99719 0,216865 4 4,92951 0,000139
2 2,24495 0.039281 5 220,89008 0,000138
3 4,58680 0,000139
Таблица 26.3
Нормы решений и иевяэок при использовании подмножеств столбцов
Опорные столбцы 11 w || II ft - Aw\\ Опорные столбцы 11 w II II ft - Aw||
1 2,46 0,40 1,2,4 . 10,8 0,00018
2 1,92 0,22 1.2,5 " 5.0 " 0,00014
3 2,42 0,07 ' 1, 3,4 8,1 0,00015
4 2,09 0,19 1,3,5 , 5,0 0,00014
5 2,30 0,19 4,9 , ( 0,00014
1,2 ' - 5,09 0,039 2, 3,4 13,5 0,00020
1,3 2,72 0,052 , 2,3,5 . 7,6 >¦ 0,00014
1,4 ' 4,53 0,023 2,4,5 24,0 0,00028
1, 5 5,07 0,001 3, 4,5 17,3 0,00017
2, 3 3,03 > b 0,053 1, 2, 3, 4 10,3 1 0,00014
2, 4 * * 20,27 f * 0,030 ; 1, 2, 3, 5 r 5,0 »f 0,00014
2,5 17,06 * 0,128 iX 1,2,4,5 ¦ ¦: 5,0 v 0,00014
3,4 % 3,07 0,056 1,3, 4,5 ' 5,0 .| 0,00014
3,5 fir 2,97 0,058 af 2, 3, 4. 5 9,0 ! 0,00014
4,5 17,05 0,175 , 1.2, 3, 4,5 220,9 0,00014
1,2,3 22,1 0,00018
158
ftjIBOl
Решения, опирающиеся на
2 столбца
Решбния.опи-рающився на 3 столбца
10
100 1000
Решения,1 опираю- Рвшения,ол» Зразе Щмвся на4столбца ?a|Pjjj?Jjg*0|
0,00011_^^"Q , ° .
Ьй 1 55100 1000
Норма решения
Рис. 26.6. Решения, опирающиеся на подмножества столбцов Л
гулярных чисел множителями, не превосходящими 2. Из теоремы 6.31 известно, что сингулярные числа s< н диагональные элементы Гц должны удовлетворять соотношениям
1,00 <s,/г,, <2,24, 0,58<j2/r22 <2,00, 0,33 <5з/гЭз< 1,73, 0,18<s4/r44 < 1,41, 0,09 <s5/r5 5 < 1,00.
Для допуска г, определяющего псевдоранг матрицы, были последовательно установлены значения 0,29, 0,040, 0,0046, 0,0000073, 0,0. Подпрограмма HFT1 вычислила пять различных решений (которые мы обозначим
через г отвечающих значениям псевдоранга А: = 1, 2, 3, 4, 5. Нормы решений и невязок для этих пяти векторов приведены в табл. 26.2.
Отметим, что данные табл. 26.2 весьма сходны с соответствующими данными рис. 26.1 (в столбцах с шапками "YNORM" и " RNORM") для пробных решений, полученных в сингулярном анализе.
В качестве еще одного способа анализа этой задачи были вычислены решения, опирающиеся на каждое из 31 непустых подмножеств, составленных из пяти столбцов матрицы А. Нормы решений и невязок для всех этих 31 решений приведены в табл. 26.3 и показаны на рис. 26.6.
159
Обозначим через »И • решение, опирающееся на столбцы /,/, ...
Из рнс. 26.6 видно, что простейшая форма пошаговой регрессии определит вектор мД3) как предпочтительное решение среди тех, что опираются только на один столбец. Далее будут рассмотрены решения w^1'3', w^2,3\ уИ3,4\ »И3,5). Среди этих четырех векторов будет выбран и>(|>3) как дающий наименьшую норму невязки. Заметим, что зта норма в 52 раза больше, чем та, что соответствует вектору »И1,5), Очевидно, что этот последний вектор дает минимум невязки среди всех решений, опирающихся на два столбца. На следующем этапе простая пошаговая регрессия выберет
Предыдущая << 1 .. 52 53 54 55 56 57 < 58 > 59 60 61 62 63 64 .. 88 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed