Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Лоуcон Ч. -> "Численное решение задач метода наименьших квадратов" -> 43

Численное решение задач метода наименьших квадратов - Лоуcон Ч.

Лоуcон Ч., Хенсон P. Численное решение задач метода наименьших квадратов: учебное пособие. Под редакцией Тыртышникова Е.Е. — М.: Наука, 1986. — 232 c.
Скачать (прямая ссылка): louson_h_chisl_resh_zmnk.djvu
Предыдущая << 1 .. 37 38 39 40 41 42 < 43 > 44 45 46 47 48 49 .. 88 >> Следующая

IJo»-xl<-^-. ' ' ' - » (22.17)
Поэтому, чтобы обеспечить выполнение неравенства I х\е) ¦* ж; I < tj I х I, достаточно взять е, для которого | е |<е0,где i
17j2 Hjc П '» .
e5 = —2L!--. ! (22.18)
l/jtl
Заметим, что формула (22.18) неприменима, если lf—x 1= 0. В этом случае, однако, система (22.1) совместна и имеет одно-и то же решение при всех еФО.
Рассмотрим теперь задачу НКУ для более общего случая, когда С —mi X X л-матрица ранга к\ < mt < л, Е— m2 X л-матрица и ранг матрицы [СТ :ЕТ] равен л. Кроме того, предполагается,что уравнения связей Сх = d совместны.
Подходящими заменами переменных мы сведем эту задачу к только что рассмотренному специальному случаю. Прежде всего заметим, что при I ? | < 1 задача (22.1) эквивалентна задаче наименьших квадратов
I (l-e2)I'2Cl fO-e2)"^ 1 ! v., {
е?'
117
где
Е--[СЕ], /-[J]. (22.20)
Теперь мы проведем равномерное масштабирование задачи (22.19), умножив коэффициенты обеих частей на (1-е2) -|'2. В результате получим
задачу
Рассмотрим QR -разложение матрицы Е':
Здесь Q — ортогональная матрица порядка m, + т2, a R — невырожденная и X л-матрица. Полагая
приходим к эквивалентной задаче наименьших квадратов
(22.21)
(22.22)
(22.23)
т Пусть
т,{Г CR~l П Г П} и,
"( Pin \у-\ pg }т, ,+т2-m(L0 J L J'
+ m2.
(22.24)
(22.25)
С/?"' =USVT
есть сингулярное разложение матрицы CR~l (см. теорему 4.1). Так как С имеет ранг A: i, то это же верно для CR , и потому
>т. X п
*|
О О
n-ki
HSi > . . . > $Л(> 0. * Разобьем; на два сегмента:
g
Г* 1) -
Утг - п
Теперь после замены VTy яг задач* (22.24) переходит ъ эквивалентную
задачу ' ''" ¦¦
S
Pin 0
I 1
L Pg2 J
(22.26)
ttt
Так как система Сх = d совместна, то
UTd =
d'kl (22.27)
_ О J .
Итак, задача (22.1) сведена к задаче (22.26), у которой матрица коэффициентов состоит из нулевой и двух диагональных матриц; одна из последних является скалярным кратным единичной матрицы.
Из лемм 22.4 и 22.7 следует, что при стремлении р к нулю решение г (р) задачи (22.26) сходится к (единственному) решению z следующей задачи:
минимизировать
\z- VTgl »2 + ll^ II2 "; '" Н (22.28)
при условии Sz = UTd.
С другой стороны, посредством подстановок
Rx=y, . (22.29)
VTy=z, (22.30)
где R и V определены соответственно в (22.22) и (22.25), задача НКУ (20.1) преобразуется в задачу (22.28).
Поэтому, используя (22.29) и (22.30), находим, что вектор
x(p) = R~lVz(p) (22.31)
есть (единственное) решение задачи (22.1) при р = е(1 - е2)-1'2, а вектор
x = R~lVz (22.32)
есть (единственное) решение задачи НКУ (20.1).
Чтобы записать разность между х (р) и х, заметим, что z (р) и z связаны соотношением
z(p)-z = p2h(p), (22.33)
где И — векторноэначная функция, получающаяся из (22.10) при соответствующем изменении обозначений. Следовательно,
х(р) -x = p2RVh(p). (22.34)
Чтобы применить к задаче (22.26) оценки (22.11), положим
d' = UTd,
(22.35) (22.36)
1/2
Тогда из (22.11) и (22.34) выводим
Пх(р)-х-п<р2 и/г1 ь;2[ У ] '
где g'{ и d t - i-e компоненты векторов (22.35) и (22.36) соотватстиенно.
119
Если хФ О, то для того, чтобы вектор jc (р) представлял х с относителен ной точностью т) (т.е. Их(р) -х II <r? I х В), нужно взять положительное А не превосходящее Ро, где
Ро = т? II х И s\ Полагая
60 = • (2237)
видим, что решение х (е) задачи (22.1) удовлетворяет оценке
Их (е)-х 11<т} Их I (22.38)
для ? в интервале (0, е0 ] )•
Следует подчеркнуть, что трюк, состоящий в рассмотрении различных расширенных задач (22.19), (22.21), (22.24), (22.26) и (22.28) и соответствующих координатных замен, имеет целью лишь доказательство того, что при е-»-0 решение задачи (22.1) сходится к решению задачи НКУ (20.1). Не нужно терять из виду, что в любой реальной вычислительной процедуре, основанной на этих идеях, можно попросту прямо решать задачу (22.1), например, с помощью преобразований Хаусхолдера.
Хотя значение е0 из формулы (22.37) дает верхнюю оценку для е, обеспечивающих полную относительную точность т) результата, оно включает в себя величины, которые обычно при решении задачи (22.1) не вычисляются. Заметим, что ни математический анализ задачи, ни численная устойчивость метода Хаусхолдера [146] не накладывают ограничений снизу на допустимые значения I el . Единственное практическое ограничение устанавливается значением L (см. гл. 15), характеризующим машинный нуль арифметики с плавающей запятой для данной машины.
В качестве примера рассмотрим машину, для которой т) = 10~8 kL = Ю-38. Предположим, что все ненулевые коэффициенты матриц С, ? и векторов d, f имеют приблизительно порядок 1.
С точки зрения практических запросов, скорей всего, достаточно, чтобы было e<t}'/2 = 10"4; кроме того, должно быть е>L = 10~38. В этом широком диапазоне можно взять, например, е = 10"'2.
Проиллюстрируем этот весовой подход к решению задачи НКУ на примере задачи (20.25) - (20.28). Сформулируем ее сейчас как взвешенную задачу наименьших квадратов
Предыдущая << 1 .. 37 38 39 40 41 42 < 43 > 44 45 46 47 48 49 .. 88 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed