Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Лоуcон Ч. -> "Численное решение задач метода наименьших квадратов" -> 4

Численное решение задач метода наименьших квадратов - Лоуcон Ч.

Лоуcон Ч., Хенсон P. Численное решение задач метода наименьших квадратов: учебное пособие. Под редакцией Тыртышникова Е.Е. — М.: Наука, 1986. — 232 c.
Скачать (прямая ссылка): louson_h_chisl_resh_zmnk.djvu
Предыдущая << 1 .. 2 3 < 4 > 5 6 7 8 9 10 .. 88 >> Следующая

Рассмотрим в качестве важного примера случай, когда линейная задача наименьших квадратов происходит из нелинейной и вектор решения *ь должен использоваться как поправка, прибавляемая к текущему номинальному решению нелинейной задачи. Линеаризованная задача будет полезным приближением к нелинейной лишь в некоторой ограниченной окрестности. Если имеются различные векторы, дающие достаточно малые невязки в линейной задаче, то можно предпочесть тот, что имеет наименьшую длину. Это увеличивает вероятность остаться в окрестности, где разумно линейное приближение.
Следующие три положения лежат в основе нашего подхода к методу наименьших квадратов:
1. Поскольку исходные данные задачи НК не вполне определенны, мы можем изменить их, приспособив к своим нуждам.
2. Мы будем применять ортогональные матрицы исключения непосредственно к линейной системе задачи НК.
3. Всюду большое внимание уделяется практичности при машинной реализации.
Дадим краткий комментарий к первым двум положениям. Наша цель при изменении задачи, о котором говорится в п. 1, состоит в том, чтобы избежать ситуации (см. выше), когда "малое" изменение исходных данных приводит к "большим" изменениям решения.
Матрицы ортогональных преобразований, упомянутые в п. 2, находят естественное место в методе наименьших квадратов, поскольку они оставляют неизменной евклидову длину вектора. Кроме того, их использование желательно и вследствие присущей им численной устойчивости по отношению к распространению ошибок или неопределенности входных Данных.
Мы не выдвигали никаких предположений относительно сравнительной величины параметров тип. Для последующего обсуждения задачи НК удобно разделить шесть случаев, иллюстрируемых на рис. 1.1.
Наибольшее внимание в этой книге будет направлено на случай 2а; при этом специально будет рассмотрена ситуация, когда неопределенность во входных данных приводит к случаю 2Ь. Однако алгоритмы и их обсуждение будут даны для всех шести случаев.
АНАЛИЗ ЗАДАЧИ НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ
Основным содержанием этой главы будет анализ задачи НК, основанный на представлении т X n-метрицы А произведением вида HRK Т, где Н и К -ортогональные матрицы. Определения ортогональной матрицы и других понятий линейной алгебры приведены в приложении А.
Наш интерес к разложению А = HRK т общего вида мотивирован практичностью и полезностью некоторых конкретных вычислимых разложений этого типа, которые будут введены в гл. 3,4.
Важным свойством ортогональных матриц является сохранение евклидовой длины при умножении. Это значит, что для любого m-вектора у и любой ортогональной m X m-матрицы Q
llfiHI = НЯ1. . (2.1)
В контексте задачи НК, где речь идет о минимизации евклидовой длины вектора Ах - Ь, имеем
|| Q(Ax -Ь)\\ = || QAx - Qb\\ = \\Ах - Ь \\ (2.2)
для произвольной ортогональной m X /и-матрицы Q и любого л-вектора х. Использование ортогональных преобразований позволяет выразить
решение задачи НК следующим образом:
Теорема 2.3. Пусть А - m X п-матрица ранга к, представленная в виде А = HRK т, (2.4)
где Н - ортогональная m X m-матрица; R - m X п-матрица вида R = Г*п 0 1
= I ф I ; Ли —кХк-матрицарангак; К - ортогональная лХи-. рица. Определим вектор
*'»¦'-[" 1!* . (2-я
{g2l)m-k и введем новую переменную
«'«-/-["]!* t. (ад
L Уг J) и - k X
Определим у i как единственное решение системы
ЯмУх'Ях- , (2.7)
\-мат-
Тогда: '
1) Все решения ЗвЛсю о минимизации || Ах - Ь II имеют вид
где уг произвольно. 10
(2Л)
2) Любой такой вектор х приводит к одному и тому же вектору невязки г.
г = ?-Лх=я|° j. (2.9)
3) Для нормы г справедливо
|| г || = ц 6-Ля || = На ||. (2.10)
4) Единственным решением минимальной длины является вектор
¦' [о ]
(2.11)
Доказательство. Заменяя А правой частью равенства (2.4) и применяя (2.2), получаем
\\Ах-Ь\\г = \\HRKTx-b\\2 = \\RKTx-HTb\\2. (2.12)
Из уравнений (2.5)-(2.8) следует, что
\\Ах-Ь\\2 = \\Rliyt-gl\\2 + \\g2\\2 (2.13)
для всех х.
Правая часть (2.13) имеет минимальное значение II #2II2, если
Уравнение (2.14) допускает единственное решение yt, так как ранг Rlt равен к.
Общее решение у выражается формулой
(2.15)
где Уг произвольно.
Для вектора х, определенного уравнением (2.8), имеем
Ь - Ах =Ь - HRK тх =H(g- Ry)
что устанавливает равенство (2.9).
Ясно, что среди векторов у вида (2.15) наименьшую длину имеет тот, для которого у-1 = 0. Из (2.8) следует, что решением наименьшей евклидовой длины будет вектор
х=К
0 J
(2.16)
Теорема 2.3 доказана.
Всякое разложение m X и-матрицы А того же типа, что и (2.4), мы будем называть ортогональным разложением А.
В случае к = п или к = m величины с размерностями соответственно и - к или m - к отсутствуют. В частности, при к = п решение задачи НК единственно.
Заметим, что решение минимальной длины, множество всех решений и минимальное значение для задачи минимизации \\Ax~b || определяются единственным образом. Они не зависят от конкретного ортогонального разложения.
Упражнение
2.17. Пусть А - т X п-матрица (т > п) ранга к и Q,R, =А= С2Л2. Если Q{ -т X л-матрицы с ортогональными столбцами, а Л; - верхние треугольные/) х п-матри-цы, то существует диагональная матрица D с диагональными элементами, равными + 1 или - 1, такая, что 0,D = и DRX = Л,.
Предыдущая << 1 .. 2 3 < 4 > 5 6 7 8 9 10 .. 88 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed