Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Лоуcон Ч. -> "Численное решение задач метода наименьших квадратов" -> 14

Численное решение задач метода наименьших квадратов - Лоуcон Ч.

Лоуcон Ч., Хенсон P. Численное решение задач метода наименьших квадратов: учебное пособие. Под редакцией Тыртышникова Е.Е. — М.: Наука, 1986. — 232 c.
Скачать (прямая ссылка): louson_h_chisl_resh_zmnk.djvu
Предыдущая << 1 .. 8 9 10 11 12 13 < 14 > 15 16 17 18 19 20 .. 88 >> Следующая

Примеры некоторых конкретных теорем и формул дифференцирования приведены в упражнениях 8.33 и 9.22-9.24. Заметим, что формулы из этих упражнений переносятся на случай, когда t — ^-мерная переменная с компонентами ti.....tk. Нужно просто заменить dfdt в этих формулах на
Э/Эг,, / = 1.....*.
Дифференцирование псевдообратной матрицы было использовано в [54, 141] для алгоритмов условной минимизации. В [74, 112] дифференцирование псевдообратной матрицы применено к таким нелинейным задачам теории наименьших квадратов, в которые часть параметров входит линейно.
¦
38
Упражнение 8.33 [90, 137]. Пусть А - тх л-матрица (т>п), элементы которой суть дифференцируемые функции действительной переменной t. Предположим, что при t = 0 rank/1 = л. Показать, что: 1) существует действительная окрестность нуля, в которой А* явлиетси дифференцируемой функцией от t; 2) производная/4* выражаетси формулой
dA* ,dA . Tl dA\T
- = ~A*——A* + A*A*T[— ) (I-AA*).
at dt \ dt J '
ГЛАВА 9
ОЦЕНКИ ВОЗМУЩЕНИЙ ДЛЯ РЕШЕНИЙ ЗАДАЧИ НК
Здесь теоремы предыдущей главы будут применены к исследованию воздействия возмущений в А и b на решение минимальной длины*) х задачи Ах as Ь. Мы будем по-прежнему пользоваться определениями (8.1)-(8.4). Теорема 9.7 выводится без каких-либо предположений о соотношении размеров т, п и числа к = ran к Л. Вслед за доказательством теоремы 9.7 полученные оценки конкретизируются для трех случаев: т = п = к, т>п = к и п>т = к.
Удобно формулировать результаты в терминах относительных возмущений
IE II
-ш: ¦ (9Л)
II <Ш
~ш <">
и величин
Ы I ИхII iAxi
(9.3)
Р- .][[ 7<~ (г = Ь-Ах), (9.4)
к = Ы1Ы+П, (9.5) „ к ИЛИ ЪА*1
к =-= - . (9.6)
l-ка l-lAUA*i
л
Определения (9.1)-(9.6) применимы, разумеется, лишь когда соответствующие знаменатели отличны от нуля. Величина к в (9.5) называется числом обусловленности матрицы А.
Теорема 9.7. Пусть х - нормальное псевдорешение задачи наименьших квадратов Ax^b; г = Ь—Ах - соответствующий вектор невязки.
*'в советской литературе приняты термины нормальное решение или нормальное псевдорешение (смотри по тому, совместна или нет задача Ах = Ь), которые и будут в Дальнейшем использоваться. (Примеч. пер.)
39
Предположим, что II?l IIА* К 1 и гапкЛ <гапк4, и пусть х + dx - нор-лимькое псевдорешение задачи наименьших квадратов
A(x+dx)=(A + ?)(х+dx)=**> Тогда
rank А = rank Л, (9.8)
/ II/; п л-II иы
"(-
ldxl< ЪА*
l?llU*l 1-П?ПМ+И
II?11 1Л*1 IIHI
1 - II?| ИЛ+И lldxll
+ |?11х1), (9.9)
< ка + куР + ккра + ка<к[(2 +кр)а + у&]. (9.10)
llxll
Доказательство. Равенство (9.8) установлено в теореме 8.15.
Векторы х и х + dx выражаются формулами х = A*b nx + dx=A*(b +db). Поэтому
dx = A* (b+db)-A+b =
= (A*-A*)b+ A*db = Gb+ A+db.
Заметим, что г = (/ - Q) г = (I — (?)b, это вместе с (8.8) дает G2*> = G2r. Из (8.6) - (8.9) следует '
dx = -A*Ex + G2r + (/- P)ETATtx + (9.11)
Взяв оценку для IIЛ* II из теоремы 8.15 и оценку (8.26) для ||G2||, получим неравенство (9.9). Деля это неравенство на ||х || и используя определения (9.1)-(9.6), получим неравенство (9.10). Теорема 9.7 доказана.
Заметим, что при п = k = rank А матрица G3 в (8.9) нулевая, поэтому четвертый член в правой части неравенств (9.9) и (9.10) равен нулю. Аналогично при m = к = rank А матрица G2 в (8.8) и, следовательно, третий член в правой части неравенств (9.9) и (9.10) нулевые.
Далее, если и = к либо m = к, то rank А, очевидно, не может превосходить rank А. Таким образом, в этих случаях предположение rank Л < < rank Л, использовавшееся в теореме 9.7, выполняется автоматически.
Сделанные замечания доказывают следующие три теоремы.
Теорема 9.12. Предположим, что ш>п = к = rank Л и ||?||||/4+|| < 1, Тогда
rank А = rank А ,
uj п ^ м*1Ш1?11(11х|| + м+ц ||г|)+йь#'; Л;вч
dx <---и........| .Л.; (9.1S)
п-цяим ii
1^1< к[(1+кр)ат70]. ДО)
|| лг ||
40
Теорема ?157 Предположим, что nt» гашсл и П< I.
Тогда
rank Л = rank Л,
IU* II (II Я|| 11*11+11 <**¦)
|| || <-^———-— , (9.16)
1-||?|1М+Н
< к(« + УР) < «(а + 0). (9-17)
Теорема 9,18. Предположим, что и>т**е гапк'Я »|#ЙМ + ||< I-Тогда
rank А = rank Л,
. / IIЕ || || х || + || db || \
И</*0 -
--< к(а + 7|?) + ка<к(2а + 7|?) < к(2а + 0). (9.20)
II ^ II
Применяя доказательство, аналогичное выводу (8.30), можно показать, что
1^1< к(2ша + 0). (9-21)
11*11
В приводцмых ниже упражнениях даны примеры формул дифференцирования, выводимых из результатов этой главы. Обобщения и приложения этих формул указаны в конце гл. 8.
Упражнения
9,22, Пусть А - m X л-матрица (т > л), элементы которой суть дифференцируемые функции действительной переменной Г. Пусть х — вектор-функции от t, определяемая условием Ах а b для всех Г в той окрестности U, где А дифференцируема и tank А - л. Показать, что для г е U существует dx/dt, которая является решением задачи наименьших квадратов
г
7.
где г - b - Ax. .
9.2l Показать далее, что dx/dt есть решен** квадратов маыроадмрпй ^асммы
г.
9.24. Пусть л = Q R, где 0 - л х m-матрица с ортонормальными строками, а. а - невырожденная л X л-матрица (разложение л получено, например, посредством преобразований Хаусхолдера). Показать, что dx/dt удовлетворяет уравнению
Предыдущая << 1 .. 8 9 10 11 12 13 < 14 > 15 16 17 18 19 20 .. 88 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed