Численное решение задач метода наименьших квадратов - Лоуcон Ч.
Скачать (прямая ссылка):
М+11П?|1<1. ; (8.17)
Пусть sk - наименьшее ненулевое сингулярное число МШгрыцы А, а е =
= 11 ?11. Тогда
гапк(Л +?) = *, (8.18)
ПЛ+П 1
Ш+?)+П<- = - . (8.19)
У } \-\\А* 1И1?П sk-e К '
Доказательство. Неравенство (8.17) можно переписать в виде e/i* < 1 или, что эквивалентно, 5* - е > 0. Пусть~&к - *-е сингулярное число матрицы А = А + ?. Согласно теореме (5.7),
\>sk-e, (8.20)
поэтому rank (A+E)>k,n» силу (8.16) верно (8.18).Неравенство (8.20)
3» 35
можно записать в виде 1 1
что эквивалентно неравенству (8.19). Теорема 8.15 доказана. _ -' ' " Условия (8.16) и (8.17) необходимы. Легко проверить, что 1Ы+ I может быть неограниченной, если любое из них нарушено. Если же требовать выполнения (8.16) и (8.17), то, помимо оценки (8.19), мы можем, используя условие (8.18), показать, что в оценке (8.11) для IG2I произведение НЕ II II Л4 И2 можно заменить на И?11 ИД+ 1 1Ы+ I. Это утверждение основывается на теоремах 8.21 и 8.22.
Теорема 8.21. ?сли ran к Л = гапк.4, го ||ё(/-С)И= И0(/-011.
Доказательство. Это доказательство принадлежит Крогу [112].
Запишем сингулярные разложения матриц А и А: А = USVthA -USVT. Из (8.3), (8.4) и предположения о том, что А и А имеют одинаковый ранг (скажем, к), следует
"lk О
Ik о О О
U1
О О
Определим ортогональную m X /и-матрицу Щ i шением
Wi2
Wm
UTU=w=
Тогда
IQ(/-0)l-
к
и
w22
m —к
Ik 0
} *
) m-k
uTu
и
г _
/* 0 w 0 0 J "o wu
0 0. II _0 0
Точно так же можно проверить, что 1 Q(I- Q) И = 1 W2l 1. Остается показать, что II Wl2 И = II и^, II. Пусть х - произвольный m - fc-вектор. Положим
У [х\)т-к
Используя ортогональность W, имеем ИдсВ2 = H^l2 = II H^l'^l
+ II Wjjjcll2 II U/ л.II2 - И „112 И ui _II2 <-^„__,„„___. ..„ 'I'm
IW12P = — -1'2 =
, откуда И И^хИ2 = IxlP - S W22xi2. Следовательно,
max И Wltx II2 = 1 - min I 1x1 = 1 11x1 = 1
W22xP = l-s2m.
где sm_* — наименьшее сингулярное число W22. 3*
Аналогично из ПхП2 = 9yl2 = I WTyV = 0 И*Г,х12 + I И>?дс112 получат HW21«2 = 1- min II k>?xll2 = 1 -s2 *.
Итак, Л Wl2 II = И W2i I, что и требовалось доказать.
Теорема 8.22. Если rank Л = гапк/4, то матрице Git определенная
в (8.8) удовлетворяет оценке
HG2H< \El \А*\ИД+И. (8.23)
Доказательство. Так как rank А = rankj4, то додоц 8.21 позволяет написать
¦ С21< ВЛ+» »Q(/-Q)II= It ^4 * It 10(7-Поскольку
G(/-2)=/ir+/ir(/-e)=
= /*r*Hr-ir)(/-Q)--i4r+?r(/-e),
то IIC2II удовлетворяет неравенству (8.23), что и требовалось доказать.
Теперь мы в состоянии доказать нижеследующую теорему, которую можно рассматривать как наиболее полезный частный случай теоремы 8.5. При более ограничительных предположениях будут получены оценки, не включающие И/4* II.
Теорема 8.24. Пусть Gh i = 1, 2, 3, - матрицы, определенные соотношениями (8.7)-(8.9). Предположим дополнительно, что I?l4i4+ IK 1 и rank/4 < rank/4. Тогд» rank Л = rank Л и
ll?llM + H2
1С, К-, (8.25)
' 1 - И?И 1АЧ '
H?ll IU + H2
1С'1< <8ЭД
«Сз»< »?» \\АЧг, (8.27)
|С,< ,'-'шм'. ¦ (8'28)
где
l'+5»/2 .. . ...
с =- * 1,618, если rank Л < min(m, и), (8.29)
2
с = 2,/2 *> 1,414, если rank/4 =min(m, и)<тах(т,и), (8.30)
с = 1, если rank/4 =т = и. (8.31)
Доказательство. То, что rank/4 = rank/4, установлено в теореме 8.15. Используя оценку для М* II из этой теоремы, выводим неравенства (8.25), (8.26) и (8.27) из неравенств (8.10), (8.23) и (8.12) соответственно.
Отсюда сразу получается оценка (8.28) с с = 3. Для практических целей этого результата вполне достаточно. Оценка для случая (8.31) также оче-
37
видна, поскольку здесь IIG2 И = И G3 И = 0. Конечно, это неравенство для квадратных невырожденных матриц хорошо известно и может быть доказано непосредственно (см., например, [7]).
Для случаев (8.29) и (8.30) значение с определяется следующим образом. Пусть х — нормированный wi-вектор. Положим
*i=G*. *2 = (/-0*.
Тогда х = х, + х2, 1 = НдсВ2 = Их, II2 + Лх2 И2 и найдется число ip такое, что cos .р= Л*, Л и smv= 11х2Л. Пусть а> |?| Ы* И2/(1 - Л?11 ЛЛ+ II). Согласно неравенствам (8.25)-(8.27), а> /=1, 2, 3. Учитывая
правые сомножители А * и/- Q в формулах (8.7)-(8.9), имеем
Gx = G,x, + G2x2 +G3x, =yt +y2 +y3.
Левые сомножители в (8.7)-(8.9) - это соответственно л , А* и I—P, откуда следует, что.Уз ортогонален kj>i и^2. Поэтому
iGxl2 = 1>, +у2 И2 + |дг,12<аа[(1х|1 + Bjc2 И)2 + Их,Л2] =
(1 +cos2ip 1 + sin2<p +---
, 3+2sin2ip + cos2(p a2(3+5,/2)
= a2 -:- < -.
2 2
Следовательно, lGxl<a(l + 5l/2)/2 * 1,618a. Тогда
lGll = max{BGxB: Bxll=l}<a(l +5''2)/2,
что доказывает (8.29).
В случае (8.30) либо гапкЛ = и<т, и тогда Р =1п, а G3=0, либо rank Л =т<п, и тогда Q = /т и G2 = 0. Таким образом, либо у2, либо j>3 в (8.32) обращаются в нуль, и llGxB2<2a2. Это устанавливает оценку (8.30) и завершает доказательство теоремы 8.24.
Формулы (8.1)-(8.9) и теоремы этой главы можно использовать для доказательства того, что при соответствующих предположениях о ранге А элементы матрицы А* являются дифференцируемыми функциями элементов А.
