Численное решение задач метода наименьших квадратов - Лоуcон Ч.
Скачать (прямая ссылка):
7.22. Доказать, что общее решение задачи Ах э Ъ выражается формулой х = А* Ь + + (/ - А* А) у, где у - произвольный вектор.
7.23 [84|. Для невырожденных матриц имеется тождество (АВ) "' =В~'А~'. Аналогичное соотношение (А В)* = В* А* выполняется не для всех матриц ЛтХ* и
а) Указать две матрицы <4 и В такие, что т-п=1,к = 2и(АВ)* Ф В* А* .
в) Доказать, что матрицы Л и В удовлетворяют соотношению (АВ)* - В* А* тог-
да и только тогда, когда образ В является инвариантным подпространством для А А,
а образ АТ (т.е. пространство строк А) является инвариантным подпространством
щяВВТ. т т
7.24. Если rank/4тХ„ = л, тоА* = Ы А)1 А .
Если rank AmX„ = m, то А* =АТ(ААТ)Х.
7.25 (81,138]. Для произвольной матрицы А уравнения ХАА 'А нА AY-A совместны. Если матрицы X и Y суть решения указанных уравнений, то ХА и A Y -проекционные матрицы (симметричные идемпотенты) и А* = ХА Y. Отметьте упрощение формулировки в случае симметричной матрицы А.
7.26 [81J. Псевдообратная для прямоугольной матрицы А может быть определена через псевдообратные для симметричных матриц А ТА или АА Т (следует выбирать
более удобную) формулами А* = (АТА)*АТ или А* = АТ(ААТ)* соответственно.
т т
7.27 [138]. Если А нормальная (т.е. удовлетворяет условию А А -АА ), то А*А = АА* и (АПУ = (А* )".
7.28 1138]. Если А = ЬА{, причем A{aJ=Q и Afy = 0 дли i + j, то А* = ХА).
ГЛАВА 8
ОЦЕНКИ ВОЗМУЩЕНИЙ ДЛЯ ПСЕВДООБРАТНЫХ МАТРИЦ
Наша цель здесь и в гл. 9 — изучение связи между возмущениями входных данных задачи НК и возмущениями ее решений. В этой главе будут получены теоремы о возмущениях псевдообратных матриц, которые используются в гл. 9 для исследования возмущений задачи НК.
На практике к рассмотрению таких возмущений может побуждать ограниченная точность, с которой наблюдаемое явление описывается количественной информацией. Влияние погрешностей округлений, производимых в ходе
З.Ч. Лоусон 33
численной процедуры, тоже можно проанализировать так, как если бы оно имело причиной возмущение входных данных. Подобный анализ для алгоритмов, основанных на преобразованиях Хаусхолдера, будет дан в гл. 15-17.
Результаты, относящиеся к возмущениям псевдообратных матриц или решений задачи НК, были получены рядом авторов. Для наших целей наиболее подходящей с точки зрения как общности, так и удобной формы представления конечных результатов является трактовка, предложенная в [188]. Более ранний анализ проблемы возмущений или ее специальных случаев дан в [23, 24,80,90, 139,171].
Пусть А и Е — т X л-матрицы. Определим возмущенную матрицу
А=А+Е (8.1) и матрицу-разность
G = A*-A*. (8.2) Мы хотим определить зависимость G от Е и, в частости, получить оценки для IG «через \\А 1и l? I.
Удобно ввести четыре проекционные матрицы:
Р = А*А=АТАТ*. Q = АА* = АТ*Ат, (8.3)
Р - А*А = АТАТ*, Q = AA* = Ат*Ат. (8.4)
У этих матриц есть ряд полезных свойств, выводимых непосредственно из условий Пенроуза (теорема 7.9). См. также упражнение 7.21 и сводку стандартных свойств проекционных матриц, содержащуюся в приложении А.
Матрицы, определяемые формулами (8.1) - (8.4), будут использоваться на протяжении всей главы без ссылок на зти формулы.
Теорема 8.5. Матрица G, определенная формулами (8.1) и (8.2), может быть представлена в виде
G = G, + G2 + G3, (8.6)
где
G!=-A*EA\ (8.7)
G2=A*(I-Q) = A*AT*ET(I-Q)l (8.8)
G3=-(I-P)A* = (I-P)ETAT*A*. (8.9)
Для этих матриц справедливы оценки
HG, 1KB SIM* II Hi4 Л, (8.10)
HG2 H<l?H ПЛ4 V , * (8.11)
llGj II< II? II М+П2. (8.12)
Доказательство. Представим G как сумму следующих восьми матриц: , . . t
G= [Р +{/-?)] (A\-A*)[Q+(I-Q)]= ,
= PA* Q + PA* (I - Q)-PA*Q-PA*(I-Q)+ ;
+ (/ -P)A*Q + (/- P)A* (/ - Q)-(I -P)A* Q+(I-P)A*(I-QY (8.13)
34
Используя свойства
РА* = А*, (1-Р)А+ = 0,
A*Q = A*, A\I-Q) = 0, приводим (8.13) к виду
G = (A+Q-PA*) + A*(I -Q)-{I-P)A* =
= d +С2 +G3.
Чтобы выявить линейную зависимость G от ?, напишем: d =А*АА* -А*АА* = -А*ЕА*, G7=A*Q(r-Q) = A*AT*AT(I-Q) =
= A*AT+(AT-AT)(I-Q) = A*AT*ET(I-Q), (8.14)
Cj = - (/ - Р)РА* = - (/- Р)АТАТ*А* =
= -V-P)(AT-AT)AT*A* = (I-P)ETAT*A*.
Оценки (8.10) —(8.12) вытекают из неравенств И/— QH<1 и 1/-?1<1. Теорема 8.5 доказана.
Заметим, что для действительных чисел а и а (а также для квадратных невырожденных матриц) имеется алгебраическое тождество
а~1 -а'1 =д-1 (а - а)а ~1.
Казалось бы, оно означает, что для IG Н следовало ожидать оценки вида
(8.10) . Однако в (8.6) появились добавочные члены G2 и G3. Их присутствие связано с тем, что матрица либо неквадратная, либо квадратная, но вырожденная. Именно: G2 может быть ненулевой матрицей, только^если rank A <m,&G3 может быть-ненулевой матрицей, только если rank А < п. Если же rank А =т,то Q = Im,a при rank А = п будет Р = 1„.
Теперь мы хотим заменить \\А* II в правых частях неравенств (8.10) и
(8.11) ее оценкой через \\А* II и IE II. Получить такую оценку можно при предположениях (8.16) и (8.17) следующей теоремы.
Теорема 8.15. Предположим, что
rank (А + ?)<гапкЛ =fc> 1, (8.16)
