Теорема Пифагра - Литцман В.
Скачать (прямая ссылка):
Новые числа и? и V2 — снова взаимно простые. В самом деле, если бы у них был общий делитель t, то как U1, так и V1 делились бы на t; но этого не может быть, так как U1 и V1 по условию взаимно простые.
Добавим тут же, что так как U2 и V2 — числа взаимно простые, то выражение u\-\-v\ не может иметь общего делителя с U2 или с V2.
Упражнение 73. Докажите это!
Мы выразим теперь у* через новые числа U2 и V2
и2 —V2 = iu2v2, u\+v\ = 2{u\+v\),
и, следовательно,
7. Применим к последнему уравнению теорему, которой мы ранее неоднократно пользовались: если произведение взаимно простых чисел есть квадрат, то эти числа также должны быть полными квадратами. Нам неизвестно, будут ли числа т и V2 взаимно просты с числом 4; поэтому из предосторожности перенесем этот множитель в левую часть и тем самым устраним его. В уравнении
?=utvt(u\+»D
слева стоит целое число, так как у\ согласно общему условию (ср. п. 4 § 7) должно быть четным, а всякое четное число, являющееся в то же время полным квадратом,
обязательно делится на 4. Но тогда и2, V2 и u\+v22 согласно нашей теореме должны быть квадратами, например:
U2 = Xl; V=If2, U\ + V\ = z\.
Из этих трех уравнений вытекает:
4,4 4
т. е. исходя из тройки хъ Ij1, Z1, являющейся решением нашего уравнения, мы получили, хотя и не совсем простым путем, другую такую тройку х2, у2, Z2 и, кстати сказать, также основную.
Упражнение 74. В начале этого пункта мы использовали теорему, которая была доказана в п. 6, § 7 лишь для случая двух сомножителей; докажите аналогичную теорему для случая трех сомножителей.
8. Теперь нам осталось только доказать, что число Z2 меньше, чем Z1. Возвращаясь к прежним обозначениям, мы имеем
(см. 11 Ia). Так как сумма двух целых положительных чисел, из которых хотя бы одно больше 1, всегда меньше суммы квадратов этих же чисел, то
^ „
а следовательно,
Мы достигли желаемой цели; предполагая, что Z1 было наименьшим возможным, мы доказали существование еще меньшего числа Z2 и тем самым пришли к противоречию, которое можно объяснить только признанием того, что наименьшего z не существует. Но это означает, что уравнение
X4+If=Z2
не имеет целочисленных решений.
Упражнение 75. Существует «решение» нашего уравнения X=I1 ?/=0, z=l. Почему наличие этого «решения» никак не сказывается на наших рассуждениях?
9. Мы подходим к концу доказательства теоремы Ферма в случае, когда показатель степени равен 4. Если бы уравнение
X* + y* = Z*
допускало целочисленное решение X11 U11 Z11 то тройка чисел X1, U1, z\ давала бы целочисленное решение уравнения
x* + y*=z2,
а такого решения вовсе не существует. Поэтому первое уравнение тоже не может быть решено в целых числах.
10. Ясно, что метод, примененный нами для случая п= 4, нельзя распространять на показатели, представляющие собою простые числа. Уже в случае п=3 необходимы другие средства, изложение которых вывело бы нас за рамки этой книжки *). Но, по крайней мере, мы постараемся дать представление читателю хотя бы о некоторых исследованиях, нацеленных на овладение этой проблемой.
Будем различать 2 типа случаев.
К I типу мы отнесем все такие случаи, что ни одно из трех чисел X1 у и z не делится на нечетное простое число р, являющееся показателем степени в нашем уравнении.
К типу II мы отнесем остальные случаи, т. е. такие, где хотя бы одно из трех чисел X1 у и z делится на р. Мы могли бы сказать: только одно, так как если бы их было два, то на р делилось бы и третье число, и мы могли бы сократить все три числа на их общий множитель.
11. Мы рассмотрим сейчас немного подробнее случаи I типа. А. В и ф е р и х, чье имя уже упоминалось выше,
*) Доказательство теоремы Ферма для случая п=3 изложено в указанной на стр. 99 книжке А. Я. Хинчина, а также в книжке Л. Г. Шнирельмана Простые числа, M. —Л., 1940.
показал, что если бы существовало решение уравнения этого типа для простого показателя р, то р должно было быть делителем выражения
' P
<То, что число 2Р—2 при всяком простом р делится на р, легко доказать (см. ниже п. 12). Однако такие числа р, что 2Р—2 делится на р2 (и следовательно, Р(2) делится на р), крайне редки. Известный советский математик Д. А. Граве предполагал даже, что таких чисел вовсе не существует, и на этом основании утверждал в своем курсе теории чисел, что задача Ферма не может иметь решений I типа; основанием для этого послужила выполненная учениками Граве непосредственная проверка того, что для всех простых чисел, меньших 1000, выражение P(2) не делится на р. Позже удалось установить, что) наименьшее простое число р такое, что 2Р—2 делится на р2, есть 1093. Причем требуется изрядное терпение, чтобы найти это число: здесь приходится иметь дело с настоящими числами-великанами. Исследования Вифериха продолжил Мириманов, который показал, что если для простого показателя р решение существует, то также и выражение
v ' P
должно делиться на р. Вандивер распространил (с некоторыми ограничениями) эти результаты, доказав, что на р должно делиться аналогичное выражение P(5), а Фробениус доказал то же самое для выражений P(Il)1 P(Il) и некоторых других. Таким образом, круг показателей р, которые могли бы отвечать решениям типа I, еще более сузился.
