Теорема Пифагра - Литцман В.
Скачать (прямая ссылка):
— длины сторон двух пифагоровых треугольников (последнее из трех чисел всегда будет обозначать гипотенузу). Тогда
ахЪ2, U1U21 cj)2 и a2bl9 b2bv с2Ъх
или
CL1Ci2, bla2, C1U2 и Ci2Ci1, Ъ2ах, с2аг
также представляют пифагоровы треугольники; действительно — это производные тройки, полученные из предыдущих посредством умножения всех сторон на Ь2 и Ъх или
соответственно на а2 и ах. Эти прямоугольные треугольники имеют равные катеты длины ЬХЬ2, соответственно агаг. Если теперь приложить их равными катетами друг к другу (общий катет будет при этом высотой), то, например, в первом случае получится геронов треугольник со сторонами (Ct1B2+ +аА), C1^2, CcJd1. Высота этого треугольника будет равна bxb2 и, следовательно, площадь его
|ЬА(аА+аА).
Аналогично можно поступить со второй парой треугольников.
11. Изучая дальше вопрос о нахождении всех героно-вых треугольников, мы будем исходить из общего решения пифагорова уравнения, найденного нами ранее. Прежде всего уясним себе следующее. Исходя из любого геронова треугольника, можно получить сколько угодно новых; для этого только нужно числа, измеряющие длины его сторон, умножить на одно и то же число, подобно тому, как мы делали это для пифагоровых треугольников. Таким образом, мы можем не требовать, чтобы длины сторон выражались целыми числами; достаточно, чтобы они были рациональными (детали этого рассуждения предоставим читателю). Это же относится к площадям, или, что то же, к высотам треугольника.
Упражнение 67. Почему, если стороны и площадь геронова треугольника выражаются рациональными числами, то это же будет справедливо для всех трех его высот?
Итак, дальше можно рассматривать только отношения сторон треугольника а:Ь:с. Пусть даны два прямоугольных треугольника, стороны которых выражаются пифагоровыми числами, причем стороны первого треугольника
а второго
a2 = uv„ Ь .=
2 ' ~i 2
(их, U21 vl9 V2 удовлетворяют еще некоторым дополнительным условиям, подобным тем, с которыми мы встречались
в прежних рассуждениях). Образуем только что описанным способом из двух данных треугольников два новых пифагоровых треугольника, у которых один из катетов является общим, а именно
U3-U1U1 2 і ^3--4-»
_(u*+v*)(ul-vl) cs 4 »
K-^)(^2+^22)
Приставляя теперь оба полученных треугольника друг к Другу равными катетами &3 = 64= /г, получим геронов треугольник со сторонами а=с3, Ь = с±, с=аъ+а^ и высотою h.
Выражение для с можно несколько преобразовать, если заметить, что
U1V1 (и\ — v\ )+u2v2( и\ — v\) = (U1V2+V1U2) (U1U2-V1V2),
в чем можно убедиться непосредственной проверкой. Умножая теперь выражения для а(=с3), 6( = с4) и с( = а3+а^) на 4, мы получим
a:b:c = [(u\+vl)(u\-vl)\ :[(u*-v*)(ul+vl)]:
: [2(M1P1 +V1U2) (U1U2 — ^1P2)J.
Не следует, конечно, ожидать, что стоящие справа три числа будут взаимно простыми, даже если и\ и V2, а также и2 и V2 попарно взаимно просты.
Рассмотрим один простой пример. Пусть
U1=S, V1 = I, и2 = 5, V2 = I9 тогда получим
а:Ь:с = 240:208:224,
или
а\Ь:с = 1э: 13:14.
Этот геронов треугольник хорошо известен *).
Упражнение 68. Найдите несколько других героновых треугольников.
Эйлер (1707—1783) указал другую систему формул, которая получается, если в качестве совмещаемых катетов треугольников Ci1Ci2, Ьха21 сха2 и Ci2Ci11 Ъ2аХ1 C2CL1 взять аха2.
Упражнение 69. Покажите, что при этом получатся такие формулы:
a=u2v2 1J 1 , B=U1V1 2J 2 , с= 2 -
Разделив эти выражения на U1V1U2V2 и умножив на 2, получим
Упражнение 70. Рассчитайте по предыдущим формулам геронов треугольник, исходя из значений U1=S1 V1=I1 а2—5, »,= 1!
Упражнение 71. Найдите в обоих случаях общее выражение для высоты, получившейся от совмещения равных катетов, а также для площади.
Упражнение 72. Брамагупта (род. около 600 г. н. э.) нашел следующие формулы:
Объясните их происхождение,
12. При дальнейшем изучении героновых треугольников выдвигались дополнительные требования, например, чтобы длины медиан или биссектрис также выражались рациональными числами.
<Так, например, Эйлер указал, что у треугольника со сторонами 136, 170, 174 площадь и все медианы имеют
*) Для любителей замечательных чисел мы укажем еще несколько героновых треугольников, стороны которых выражаются последовательными целыми числами: 51, 52, 53; 193, 194, 195; 723, 724, 725; 2701, 2702, 2703.
целочисленные значения; доказано, что этот треугольник — наименьший из всех героновых треугольников с целочисленными медианами. Рассматривалась также задача о нахождении всех героновых треугольников, периметр которых равен их площади (простейший из таких треугольников — прямоугольный треугольник со сторонами 6, 8 и 10) *).
Близки к задаче о пифагоровых числах следующие задачи: найти все треугольники, стороны которых выражаются целыми числами и разность двух углов равна 90° ( у прямоугольных треугольников сумма двух острых углов равна 90°!), или стороны выражаются целыми числами, а один из углов равен 60° или 120° (в более сильном варианте: стороны выражаются целыми числами и один из углов измеряется рациональным числом градусов — безразлично каким!), или, наконец, стороны выражаются целыми числами, а один из углов в целое число раз больше другого (например, в 2 раза, или в 7 раз). Решения этих задач даются формулами, сходными с основными формулами (I)—(ИІ) п. 6 (но несколько более сложными)**).)
