Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Литцман В. -> "Теорема Пифагра" -> 26

Теорема Пифагра - Литцман В.

Литцман В. Теорема Пифагра — Государственное издательство, 1960. — 114 c.
Скачать (прямая ссылка): teorema-pifagora.djvu
Предыдущая << 1 .. 20 21 22 23 24 25 < 26 > 27 28 29 30 31 32 .. 33 >> Следующая








































L

*"

























0 5 10 15 20 25

Рис. 71.

таблица, составленная на основании результатов упражнения 59. Можно также создать геометрическую схему распределения этих чисел. Выберем на плоскости систему координат (рис. 71) и на сетке, образуемой прямыми,

*) См., например, книгу В. Серпи некого, указанную на стр. 82.

параллельными координатным осям и отвечающим целочисленным значениям х и г/, отметим маленькими кружками известные нам решения уравнения

x2+y2=z2.

При этом основная тройка пифагоровых чисел вместе со всеми полученными из нее производными тройками определит некоторый числовой луч, свой для каждой основной тройки. Чем дальше мы будем расширять наш чертеж (на рис. 71 мы дошли лишь до х=25, у = 25), тем больше мы получим лучей.

Упражнение 62. Докажите, что все производные тройки лежат на том же луче, что и та основная тройка, из которой они получились.

Упражнение 63. Докажите, что чертеж, изображающий пифагоровы числа (рис. 71), симметричен относительно биссектрисы угла между координатными осями.

9. Вопросу о пифагоровых числах можно придать другую форму. Разделим обе части исходного уравнения

x*+y2=z* (1)

на z2; тогда оно примет вид

Пользуясь последним равенством, сформулируем нашу задачу так: требуется найти все такие решения X1 и уг уравнения

*2+*/2=1, (3)

которые можно записать в виде обыкновенных дробей, т. е. которые являются рациональными числами. Если, например, дроби

(их, конечно, можно привести к одинаковому знаменателю) являются решением уравнения (3), то при этом удовлетворяются также равенства (2) и (1). Уравнение (3) можно очень просто истолковать геометрически: оно представ-

ляет собою не что иное, как уравнение окружности единичного радиуса (ср. § 6, п. 5). Таким образом, задаче о нахождении рациональных решений уравнения (1) геометрически соответствует задача об отыскании точек окружности с рациональными координатами. На рис. 72

Рис. 72.

нанесен целый ряд таких точек; одна из них — точка P с координатами ^||, . То, что она лежит на единичной окружности, доказывается тождеством

(!/+(АН-

Упражнение 64. Для нанесения точек на рис. 72 мы использовали рис. 71. Каким путем это было выполнено?

Упражнение 65. Покажите, что как бы ни была мала дуга окружности, на ней найдутся точки с рациональными координатами.

< Новая формулировка задачи о пифагоровых числах позволяет также дать очень простой вывод основных формул (I)-(III) п. 6. Нам требуется указать метод, позволяющий находить все рациональные точки окружности х2-{-у2=1, т. е. точки окружности, имеющие рациональные координаты. Пусть P — одна такая точка; соединим ее с точкой Q(0,-1) пересечения нашей окружности с осью у (рис. 72). Уравнение каждой прямой, проходящей через начало координат О (кроме оси у) можно записать в виде у=кх, где к — некоторое число (угловой коэффициент прямой); уравнение прямой, проходящей через Q, имеет вид

где число к также называется угловым коэффициентом. Заметим теперь, что если наша прямая пересекает окружность в рациональной точке Р(х, у), то ее угловой коэффициент к рационален (ибо в этом случае & = ^i^ ,

где х и у — рациональные координаты точки P). Обратно, если к рационально, то наша прямая пересекает окружность в рациональной точке Р; это легко доказать непосредственной проверкой. В самом деле, нахождение точки пересечения окружности и прямой сводится к решению системы уравнений

ж2+у2=1, у+1=кх, которая может быть приведена к одному уравнению

у-\-1=кх

(*)

или

(1+к2) у2+2у+1 — к2=0.

Отсюда имеем

к2-1

= —1

и, соответственно,

X1 =



Уі±1

= 0.

к

к2-}-! '

к

Итак, все рациональные точки окружности можно отыскать как точки пересечения окружности с такими

прямыми (*), угловой коэффициент к которых рационален: к= ~, где и и V—целые. Эти точки находятся по формулам

2к _ 2uv _ к2—і _u2-v2 . .

X*—k*+l~~uz+v2' У*~~кг+1 ~ u2+v2 '

Легко видеть, что формулы (**) — это те же самые формулы (I)—(III), лишь записанные в несколько ином виде!)

10. Если два прямоугольных треугольника, стороны которых выражаются целыми числами и которые имеют по равному катету, приложить этими катетами друг к другу, то получится треугольник, все стороны которого выражаются целыми числами, и площадь которого также является целым числом. Например, составляя пифагоровы треугольники со сторонами 9, 12, 15 и 5, 12, 13 катетами 12, получим треугольник со сторонами 13, 14, 15. Стороне 14 отвечает высота 12, и площадь треугольника равна 12-14 Q/ гр

—?—=84. Іакие треугольники называют г ероновыми

треугольниками.

Упражнение 66. Составьте из известных нам пифагоровых треугольников еще несколько героновых треугольников. Для отыскания нужных чисел используйте рис. 71.

Нетрудно найти общее правило, при помощи которого можно составить сколько угодно героновых треугольников. Пусть
Предыдущая << 1 .. 20 21 22 23 24 25 < 26 > 27 28 29 30 31 32 .. 33 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed