Теорема Пифагра - Литцман В.
Скачать (прямая ссылка):
Мы можем теперь выписать и выражения для у и Z7 заменив в полученных выше формулах числа тип квадратами и2 и V2. Мы получим:
2
(Ш)
7. Равенства (I), (II), и (III) дают полное решение нашей задачи. Мы пришли к выводу, что эти равенства необходимы для того, чтобы удовлетворялось уравнение
x2+y2=z2. (А)
Можно утверждать и обратное, т. е. что если и я v — какие угодно нечетные взаимно простые числа, причем u>vy то значения X1 у и Z1 соответствующие им по формулам (I), (II) и (III), будут удовлетворять уравнению (А). Действительно,
в чем можно сразу убедиться путем вычисления.
Мы попробуем применить этот способ для отыскивания тройки сравнительно больших пифагоровых чисел. Пусть и=\ J, г; = 9; соответствующие числа будут: ^r= 99,
Как видно из уравнения (Б), ему могут удовлетворять и не взаимно простые числа и и V1 однако они всегда порождают лишь производную пифагорову тройку.
Упражнение 59. Составьте список пифагоровых чисел, давая и и v все допустимые значения от 1 до 10.
Упражнение 60. Поясните несколькими примерами утверждение относительно производных троек, сделанное нами в конце этого пункта.
<Формулы (I), (II) и (III) являются основными в теории пифагоровых чисел. Наличие бесконечного множества пифагоровых троек (даже бесконечного множества основных троек) позволяет ставить задачи об отыскании пифагоровых чисел, удовлетворяющих еще тем или иным дополнительным условиям. Так, например, мы уже видели, что существует бесконечно много таких троек пифагоровых чисел, что в них два числа из трех являются последовательными. Можно также доказать, что существует бесконечно много таких троек пифагоровых чисел, что одно из чисел является полным квадратом (например, тройки 3, 4, 5; 7, 24, 25; 9, 40, 41;...); однако таких троек пифагоровых чисел, что сразу два из этих чисел являются квадратами, не существует вовсе (по поводу доказательства см. пп. 5—8 § 8). Самой знаменитой из задач такого рода является следующая (очень трудная!) задача Ферма: найти такие тройки (х, у, z) пифагоровых чисел (где x2-\-y2=z2), что числа х-\-у и z являются полными квадратами. Оказывается, имеется бесконечно много подобных пифагоровых троек, но все они состоят из очень больших чисел;
(Б)
у=20, Z=IOl.
наименьшая такая тройка имеет вид *):
x=i 565 486 027 761, у= 1 061 652 293520, z = 4 687 298 610 289
(здесь х+у={2 372 159)2 и z={2 165 017)2).
Упражнение 61. Докажите, что если все стороны прямоугольного треугольника выражаются целыми числами, то площадь его делится на 6, а произведение длин всех сторон делится на 60. >
8. Некоторые читатели, возможно, задумаются над тем, как можно наглядно представить себе все множество пифагоровых чисел. Для этого могла бы пригодиться
I
/
1/
і і
/
і j
І
>
/
і
1
/
і
/
/
Г
і і
/
/
/
/
/ /
/
/
I
/
/
у
I
/
h
У
I
I
/
у
S
I
/
I
I
/
/
і
j
І
>
/
?
і
(
/
I
/
/
»<"
і і
{
/
/
/
і
1
t
/
/
/
/
. *"
і
j
I
/
г
і
/
/
Y
A
г"
і
і,
/
/
і
/
/
f
і
/
/
у
s'
'/
,}
S
„.
--'
/
I
W
*
--
