Старое и новое о круге - Литцман В.
Скачать (прямая ссылка):
ао
тать, что центры Oi и O2 лежат внутри исходного четырехугольника. В этом случае четырехугольник 0^402С называют дельтоидом; в нем Z OxAO2 == Z O1CO2 — т. Таким образом, используя равенство углов, отмеченных одинаковыми значками, мы получим a + if — 2t = В + 8. Но равенство а + 7 = ? + S возможно тогда и только тогда, когда t = 0. А это означает, что вместо фигуры, составленной из двух окружностей, налицо одна окружность и, таким образом, ABCD — вписанный четырехугольник.
Здесь, как и в случае с описанным четырехугольником, мы одновременно доказали как прямую, так и обратную теоремы.
Упражнение 27. Исследуйте, возможен ли такой путь доказательства, когда либо Oi, либо O2, либо оба эти центра одновременно лежат вне четырехугольника ABCD.
Упражнение 28. Как упрощается последнее доказательство, если воспользоваться соотношением между вписанным и центральным углом?
10. Практическое использование теоремы о вписанном угле. Обратную теорему о вписанном угле можно сформулировать еще так: геометрическим местом точек, из которых отрезок виден под данным углом, является двуугольник, построенный на этом отрезке как на хорде, на которую опирается данный угол, если рассматривать его как вписанный. Это обстоятельство используется для нанесения на карту местных предметов в так называемом методе обратных засечек. Допустим, что мы находимся на местности (рис. 36) в точке Р, которую хотим нанести на карту. Измерим угол APB3 под которым виден из нашей точки некоторый отрезок AB местности, легко находимый на карте. Пользуясь описанным выше методом, мы отмечаем на карте геометрическое место возможных положений точки P в виде двуугольника. Выполним еще одно такое построение для угла BPC На пересечении обоих двуугольников мы получим интересующую нас точку Р. (Как будет обстоять дело с однозначностью ответа?)
Наш способ имеет одно уязвимое место. Если четыре точки P1 A, Bt С случайно окажутся расположенными на одной окружности, то получатся не два двуугольника, а только один, и нанесение точки P на карту оказывается невозможным. Практически этот способ
31
становится уже неприменимым, когда четыре точки расположены приблизительно по окружности.
Оставляя в стороне этот неблагоприятный случай (на практике его можно сразу обнаружить), способ обратной засечки нужно считать весьма полезным. Он находит себе применение не только на местности, но и при
Рис. 36.
каботажном плавании (в этом случае А, В, С — какие-нибудь морские знаки).
І1. Теорема о вписанном угле и вписанном четырехугольнике и разоблачение одного софизма. В одном из часто преподносившихся в недавнем прошлом софизмов доказывалось, что всякий треугольник является равнобедренным. Рассмотрим произвольный треугольник ABC (рис. 37), в котором через О обозначим точку пересечения биссектрисы угла А с перпендикуляром, восставленным из середины стороны ВС; опустим на сторону AB перпендикуляр OF, а на сторону AC перпенди-
32
кул я р OE. Равенство треугольников AOF и АОЕ, ODB и ODC и, отсюда, треугольников OFB и OEC доказывается безупречно. Из AF = Л? (следствие равенства первой пары треугольников) и BF = СЕ (следствие равенства третьей пары) вытекает, что AB = АС. Чем, очевидно, и доказывается предложение: все треугольники равнобедренные.
Понятно, что это доказательство ложное. Ошибка его в том, что точка О нанесена на чертеже неверно. Теорема о вписанном угле, причем в очень поучительном варианте, указывает,
где в самом деле должна находиться точка О. Действительно, описав вокруг ABC окружность (рис. 38) и обозначив через О середину дуги, расположенной под
хордой, мы, естественно, должны изображать перпендикуляр, восставленный из середины хорды ВС так, чтобы он проходил через О. Но АО является биссектрисой угла ВАС . в силу равенства вписанных углов, опирающихся на равные дуги ВО и СО. Если рассматривать теперь четырехугольник ABOC как вписанный, то ZABO + ZACO = 2d. Если один из этих углов острый, то второй должен быть тупым и, следовательно, если основа-опущенного из О, например А и В, то основание E перпендикуляра, опущенного из О на сторону АС, будет лежать на ее продолжении. Таким образом, из равенств AF = AE и BF = CE никоим образом не следует равенство AB — АС,
ние F на AB
-перпендикуляра, упадет между
Упражнение = ZACO = d.
29. Обсудите случаи, когда ZABO =
3 Зак. 1745. В. Литцман
33
§ 6. ТЕОРЕМЫ О ХОРДАХ И СЕКУЩИХ
J
1. Теорема об отрезках пересекающихся хорд. Предположим, что хорды AiA2 и BxB2 пересекаются в точке Р, лежащей внутри круга. Тогда имеет место равенство PAi-PA2 = PBx-PB2. Будем рассматривать рис. 39 как поверхность полусферы, изображенную в плане; тогда точка P будет проекцией точки Pk на сфере; повернем теперь полуокружность AiPf1A2 так, чтобы она совпала
Рис. 39. Рис. 40.
с плоскостью чертежа, и пусть при этом точка Рк упадет в (Pk)- Из прямоугольного треугольника Ai(Pк) A2 по теореме о квадрате высоты получаем:
p (pkf = pa1 ¦ pa2.
