Старое и новое о круге - Литцман В.
Скачать (прямая ссылка):
Упражнение 20. ,.Как в случае 3) можно избавиться от вычислений?
Упражнение 21. До сих пор мы молчаливо предполагали, что вершина вписанного угла лежит на большей из двух дуг, стягиваемых хордой AB. Как будет обстоять дело, если вершина находится на меньшей дуге?
Во всех трех случаях мы доказали, что вписанный угол равен половине соответствующего центрального угла. Но так как у всех вписанных углов центральный угол один и тот же, то отсюда сразу следует, что все вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны между собой.
3. Обратная теорема о вписанном угле. Рассмотрим вопрос о геометрическом месте вершин равных углов, стороны которых проходят через концы постоянного отрезка AB. Построим на этом отрезке сегмент, вмещаю-. щий угол а (это легко сделать с помощью угла между хордой и касательной или центрального угла 2а). Все ли точки, обладающие интересующим нас свойством, т. е. являющиеся вершинами вписанных углов, равных углу а, содержатся в дуге этого сегмента? Прежде чем дать ответ на этот вопрос, заметим, что чертеж наш не закончен. Дополним его до двуугольника, присоединив
24
дугу, являющуюся зеркальным отражением уже рас-\ смотренной дуги относительно AB (рис. 27). Покажем, что этот двуугольник является искомым геометрическим местом, чем и решается поставленная задача. В самом деле, пусть, например, точка P лежит внутри двуугольника. Продолжим отрезок AP до пересечения с окружностью в точке С, Так как угол ACB вписанный, а по отношению к Л PBC угол APB является внешним, то этот угол больше угла ACВ.
Упражнение 22. Пусть точка P лежит вне двуугольника. Докажите, что в этом случае угол APB меньше вписанных углов, вмещаемых двуугольником.
4. Теорема о вписанном четырехугольнике. Соединим вершины вписанного четырехугольника ABCD с центром О описанной вокруг него окружности; тогда при его вершинах образуется восемь попарно равных углов, Рис. 27. которые на рис. 28 отмечены
одинаковыми значками. Какие бы два противоположных угла мы ни взяли, в их сумму войдет как раз по одному углу из каждой пары отмеченных одинаковыми значками углов. Следовательно, у вписанного четырехугольника суммы противолежащих углов равны между собой; а так как каждая из этих сумм равна двум прямым, то сумма внутренних углов четырехугольника равна
четырем прямым.
5, Связь между теоремой о вписанном угле и теоремой о вписанном четырехугольнике. Если считать теорему о вписанном угле доказанной, то из нее сразу же вытекает предложение о вписанном четырехугольнике. 'Действительно, проведем (рис. 28) радиусы OB и OD, где BnD противолежащие вершины; тогда
/ BAD= \ Z BOD и Z BCD = ~ Z BOD4
причем во втором случае под углом ZBOD следует понимать угол, больший тупого. Но так как оба центральных
4
25
угла при точке О составляют четыре прямых, то сумма противоположных углов вписанного четырехугольника равна половине этой величины, т. е. двум прямым, Евклид доказывал эту теорему, также опираясь на теорему о вписанном угле, но делал это не так, как принято в современных учебниках. И это понятно, так как современные доказательства используют понятие угла, превышающего тупой, Евклид же никогда его не
С
Рис. 28. Рис. 29.
употребляет. Таким образом, случай, затронутый в упражнении 21, он оставлял в стороне (впрочем, в большинстве современных учебников этот случай тоже не рассматривается), хотя обойти его в этом доказательстве невозможно.
Доказательство Евклида, родственное доказательству, данному в п. 4 § 5, имеет следующий вид: во вписанном четырехугольнике проводят обе диагонали и таким образом получают восемь вписанных углов, которые на основании теоремы о вписанных углах попарно равны друг другу (на рис. 29 равные углы помечены одинаковыми значками). А отсюда, подобно тому как это было сделано в п. 4 § 5, выводят теорему о вписанном четырехугольнике. При доказательстве можно обойтись и одной диагональю, но в этом случае помимо теоремы о вписанном угле нужно еще пользоваться предложением об угле, образованном хордой и касательной.-Если в точке А провести касательную LN > то ZDAL = = ZDCA и ZNAB = ZBCA. А отсюда уже вытекает все остальное,
26
Если, наоборот, считать известной теорему о вписанном четырехугольнике, то предложение о вписанном угле будет ее непременным следствием. Действительно, пусть ABC вписанный угол, опирающийся на дугу АС; возьмем на этой Дуге точку D и обозначим угол ZADC через 8. Тогда по теореме о вписанном четырехугольнике 4ZABC = 2d— 8, причем совершенно независимо от того, в каком месте дуги находится вершина В вписанного угла, опирающегося на дугу АС; таким образом все вписанные углы, опирающиеся на дугу АС, равны между собой.
Мы резюмируем: теорема о вписанном угле может быть получена либо независимо от предложения о вписанном четырехугольнике, либо как его следствие, равно как предложение о вписанном четырехугольнике можно вывести независимо от теоремы о вписанном угле, либо получить как ее следствие.
Упражнение 23. Исследуйте соотношение между углами вписанного четырехугольника, если две из составляющих его хорд пересекаются.
