Старое и новое о круге - Литцман В.
Скачать (прямая ссылка):
Упражнение 17. Выразите все углы через углы а, ?, т описанного треугольника ABC.
5. Описанный четырехугольник. Рассмотрим рис. 20. На основании результатов п. 4 § 3 мы сразу можем написать следующие равенства:
AH=AE, BF = LE1 CF = CG, DH=DG; складывая отдельно их левые и правые части, получаем
AD + BC = AB+DC
Последнее равенство выражает известную теорему о том, что суммы противоположных сторон описанного четырехугольника равны. В дальнейшем мы будем обозна-
20
чать стороны четырехугольника, как обычно, одной буквой: AB = a, BC = b? CD = с, DA = d.
Упражнение 18. Справедлива ли теорема об описанном четырехугольнике для криволинейного четырехугольника.
6. Обратная теорема об описанном четырехугольнике.
Если в четырехугольнике ABCD суммы противоположных сторон равны, то в него можно вписать окружность. Пусть а + с = Ъ + d. Будем считать, что Ъ > а (если а и Ь не равны между собой), что не нарушит общности доказательства; тогда и с > d. На стороне Ъ от точки В от-
Рис. 20.
Рис. 21
ложим сторону, равную а\ при этом получится точка В' (рис. 21); на стороне С от точки D отложим сторону, равную d — получится точка C9 В силу сделанного предположения (b > а, с> d) В' лежит между В и С, a С7 между CnD. Далее треугольники ABB', ADC и CB9C — равнобедренные; последний в силу равенства Ъ— а = с — d. Оси симметрии равнобедренных треугольников будут одновременно перпен-'дикулярамп, восставленными из середин сторон треугольника АВ'С. Таким образом, они проходят через одну и ту же точку, равноудаленную от всех четырех сторон четырехугольника. А это и означает, что в наш четырехугольник можно вписать окружность.
Упражнение 19. Как быть в случае, когда а = Ь?
21
Обратим внимание читателя еще на некоторые достаточно очевидные обстоятельства, из которых следует, что условие а + с — Ъ + d является необходимым и достаточным для того, чтобы четырехугольник был описанным. Рассмотрим произвольный четырехугольник (рис. 22). Всегда можно провести две окружности так,
чтобы они касались сторон а, Ь, с и a, d, с\ общая секущая, проходящая через центры этих окружностей, должна пройти также через точку пересечения сторон а и с, которые являются общими внешними касательными обеих окружностей. Обозначим четыре точки касания на AB и CD через Tx, T2, Г3, T4, как это показано на рис. 22. Тогда TxT2 = ТдТА = t и а + с — 2t = b + d.
Но равенство а + с = Ь +' + d может быть справедливым тогда и только тогда, когда t = 0. А это означает, что в действительности имеется лишь одна окружность, а не две.
Мы не станем приводить здесь косвенные доказательства обратной теоремы об описанном четырехугольнике, обычно встречающиеся в учебниках.
Рис. 22.
§ 5. ТЕОРЕМЫ О ВПИСАННОМ УГЛЕ И ВПИСАННОМ ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКЕ
1- Вырежьте в куске бумаги прямолинейную прорезь и проткните сквозь нее исподнизу угол так, чтобы высовывалась его вершина и части боковых сторон (рис. 23). Если теперь двигать угол так, чтобы стороны угла не отходили от концов прорези, то можно заметить, что вершина угла перемещается по дуге некоторой окружности, причем прорезь стягивает эту дугу как хорда. Угол, вершина которого лежит на окружности, называют вписанным углом, если обе стороны его являются секущими. Если же только одна из сторон будет секущей, а вторая касательной (точнее, полукаса-
22
тельной), тогда говорят об угле, образованном касательной и хордой. Наш опыт с прорезью иллюстрирует следующую теорему. В окружности все вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны между собой. Доказательство сразу же вытекает из п. 4 § 4, В самом деле, начертим окружность, проведем хорду AB и касательные
Рис. 23.
Рис. 24.
в ее концах (рис.24). Тогда, независимо от положения точки С на окружности, вписанный угол, опирающийся на дугу АВУ будет равен углу между хордой и касательной, заключающему эту дугу.
2. Обычное доказательство теоремы о вписанном угле опирается на предложение о том, что внешний угол при вершине равнобедренного треугольника вдвое больше угла при основании. Доказательство теоремы проводится раздельно для трех случаев. 1) Пусть одна из сторон вписанного угла a = Z ACB совпадает с диаметром (рис. 25); тогда вследствие указанного вспомога- РцС. 25.
тельного предложения a = -^- ср,
где <р обозначает центральный угол АОВ. 2) Пусть центр окружности лежит внутри угла ACB. Сначала проведем вспомогательный диаметр CD (рис. 26); при этом угол а разделится на углы cxi и <х2, а угол ф — на углы
91 и <р2. Но поскольку <*i = -2<fr» а2 — 2"?2э той
23
в этом случае имеем
а = се, +а2 = j <р, + 2" ср2 = ^ ср.
При доказательстве этого случая можно обойтись без вычислений. Проведем два радиуса: ОА'\\СА и ОВ'\\СВ. Тогда ZAOA = ai как внутренний накрестле-жащий с углом САО; ZA'OD = си, как соответственный углу АСО. Аналогичное соотношение справедливо для угла аг. Отсюда вытекает, что центральный угол равен
удвоенному вписанному. 3) Наконец, пусть центр О лежит вне вписанного угла ACB, тогда опять-таки с помощью вспомогательного диаметра CD можно свести этот случай к рассмотренным ранее; при этом нужно только вместо суммы углов рассматривать их разность GCl — СС2.
