Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Литцман В. -> "Старое и новое о круге" -> 5

Старое и новое о круге - Литцман В.

Литцман В. Старое и новое о круге. Под редакцией Баєва А. П. — М.:Физико-математической литературы., 1960. — 59 c.
Скачать (прямая ссылка): strinok1960.djvu
Предыдущая << 1 .. 2 3 4 < 5 > 6 7 8 9 10 11 .. 17 >> Следующая


16

'(соответственно Q')- Проведем теперь через Q (соответственно Q') прямую, перпендикулярную к OP1 и пусть

В\ и B2 (соответственно В и В'ї)—точки пересечения этой прямой с вспомогательной окружностью. Проведем,

наконец, через Bx и B2 диаметры вспомогательной окружности и обозначим точки пересечения их с данной окружностью через Ci и C2. Тогда прямые PCi и PC2 будут искомыми касательными. При этом безразлично, будем ли мы при построении пользоваться теми линиями, которые указывались в основном тексте, или пунктирными линиями, кото- Рис. 15.

рые упоминались в скобках.

Упражнение 10. Докажите это построение, рассматривая AOPCi и AOBiQ (соответственно OBiQ') и пользуясь первым признаком равенства треугольников.

і

Упражнение 11. В одном из решений задачи о проведении касательной, найденном лишь в 19 в., применяется концентрическая окружность, радиус которой вдвое больше радиуса данной; кроме того, в этом решении довольно своеобразно используется симметрия фигуры. Способ построения указан иа рис. 15; объясните его и проведи іе доказательство.

§ 4. ОПИСАННЫЕ ТРЕУГОЛЬНИКИ И ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКИ

1. Описанный треугольник. Проведем к окружности три касательные так, чтобы они образовали треугольник; назовем его AABC Точки касания обозначим D1 E3 F. Продолжим стороны AB и AC и построим вневпи-санную окружность, точки касания которой с продолжениями этих сторон обозначим через F\ и Еи а с третьей стороной ВС — через А (рис. 16). (Линию В'С, изображенную на этом рисунке пунктиром, пока принимать во внимание не будем.) Покажем теперь на нескольких примерах, как можно выразить любой из интересующих нас отрезков касательных через стороны а, Ь, с

2 Зак. 1745. В. Литцман

17

треугольника ABC, Для сокращения обозначим, как обычно, полупермметр через р:

1

р = -2(а + Ь + с). Мы ограничимся следующими примерами

а)

AFi = AE1 = р

Действительно:

AP1 = AE1 = і {AB+ BF1 + AC

CE1)

~ (AB+ BD1 +AC+ CD1) = ~ (AB + AC +ВС)

б)

AF = AE=P

а

Действительно, из AF1 - EE1.

= AE1 и AF = AE следует FFx =¦ Но FF1 + EE1 = BF + BFi + CE + CE1 = BD +1

+ BDi + CD + CD, = 2а. Подобно этому, например, BF = = BD = р — b; CE = CD =

= />.-в)

так

- с.

как с.

BF1 - Л/7I

P — с, -AB =

Упражнение 12. Постройте две другие вневписанные окружности и выразите получающиеся при этом отрезки касательных через стороны треугольника.

2. Общие касательные двух окружностей. Рисунок, на котором изображена вневписанная окружность, вообще представляется несимметричным. Он сразу же приобретает симметрию, как только мы проведем прямую В'C9 симметричную прямой ВС, относительно секущей, проходящей через центры обеих окружностей. Эта секущая становится осью симметрии фигуры (рис. 16). На этом рисунке обе пары общих касательных внешних и внутренних предстают как единое целое^

Рис. 16.

18

Упражнение ІЗ. Докажите, что BFx = С'Е\ = CE = В'Fl Упражнение 14. Докажите, что центры окружностей и точки В'у В, С, С лежат на одной окружности.

3. Построение общих касательных двух окружностей. Пусть из центров Oi и O2 проведены две окружности, которые мы будем называть теми же буквами (поскольку это не может вызвать недоразумения). Обозначим точки касания "внешних общих касательных к ©тим окружностям через А\ и A2, В{ и B2. Через Oi — центр меньшей окружности (рис. 17)—проведем две прямые,

параллельные внешним касательным. Обозначим точки касания ^ этих прямых с окружностью О', которая концентрична с O2, через А' и В'. Точки O2, A', A2, так же как и точки O2, Br, B2, расположатся на одной прямой. Этот рисунок указывает путь решения задачи

Рис. 18.

о построении общих внешних касательных к двум окружностям. Действительно, проводя касательные к О' из внешней точки Oi, мы получим точки А' и В', а тогда легко находятся и точки А\ и A2, Bx и B2.

Аналогично решается задача о построении внутренних общих касательных. В этом случае радиус вспомогательной окружности берется равным сумме радиусов окружностей Oi и 0-2, а не их разности. Дальнейшее понятно из рис. 18.

2* ]9

Упражнение 15. а) Рассмотрите случай построения внешних общих касательных к двум окружностям неравных радиусов, которые касаются друг друга или пересекаются, б) Как видоизменится построение, если радиусы окружностей станут одинаковыми?

4. Описанный и вписанный треугольники. Вначале этого параграфа мы нашли выражения для отрезков касательных, образующих описанный треугольник. Обратимся теперь к соотношению между углами. С этой целью соединим точки касания хордами и рассмотрим получающийся вписанный треугольник DEF (рис. 19). Согласно п. 4 § 3 углы, обозначенные одними и теми же буквами, будут равны. Следовательно,

2а' + 2?' -Ь 2т' + 4-е + С = 6rf,

и в силу того, что сумма внутренних углов треугольника равна 8 + є + ? = 2d, получаем

Рис. 19.

А отсюда, принимая получаем, что

во внимание, что ?' + 8 + Y = 2d,

а

' = 8

и аналогично ?' = є и Y = С.

Упражнение 16. Докажите с помощью рис. 19 следующую теорему: Выпуклая линия, образующая в точках пересечения с любой своей хордой равные углы, есть окружность.
Предыдущая << 1 .. 2 3 4 < 5 > 6 7 8 9 10 11 .. 17 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed