Старое и новое о круге - Литцман В.
Скачать (прямая ссылка):
многих рисунках она неправиль- _„_^_^^,
но изображается волнообразной. у/////////^/у////////////л
Упражнение I. Всегда ли сектор является выпуклой фигурой (т. е. ограничен выпуклой линией)?
5. Окружность как линия по- Y//////////////. ////////'///Л стоянной ширины. Вырежем из рис 9 дерева круглую пластинку постоянной толщины и поместим
ее меж двух планок, закрепленных параллельно друг другу на расстоянии, равном удвоенному радиусу пластинки, как это показано на рис. 2. Тогда, как бы мы ни перемещали или поворачивали эту пластинку, она все время будет касаться обеих планок: окружность, как говорят, имеет постоянную ширину. Этот факт можно обнаружить (и найти численное выражение
«ширины») с помощью штангенциркуля, как это и де* лается обычно на практике (рис. 3).
Поставим теперь вопрос: существуют ли, помимо окружности, еще и другие линии постоянной ширины?.
Рис. 3.
Ясно, что подобные линии должны быть замкнутыми и выпуклыми. Но поспешный ответ «нет» будет неверным. На рис. 4 показан очень простой противоречащий пример. В качестве исходной фигуры здесь взят равносто-
Рис. 4. * Рис. 5.
противолежащих углов. Легко проверить, что эта фигура имеет постоянную ширину, на что впервые указал P ел 6 в 1875 г.
Упражнение 2. Построение линии, изображенной на рис. 5, ясно из чертежа, а) Докажите, что она имеет постоянную ширину. Чему равна эта ширина? б) Как можно получить окружность, если рассматривать ее как предельный случай этой линии? Возьмите в качестве исходной фигуры правильный пятиугольник (вместо равностороннего треугольника) и образуйте линии постоянной ширины, заменив его стороны дугами окружностей (какого радиуса?).
10
6. Окружность как центрально-симметричная линия.
Под центром симметрии линии понимают такую точку, в которой любая проведенная через нее хорда делится пополам. Такие хорды называют диаметрами, а линию — центрально-симметричной относительно этой точки. Окружность, согласно определению, имеет центр. Но не всякая замкнутая выпуклая линия, имеющая центр, есть окружность. Укажем, например, эллипс: в противоположность окружности, у него не все диаметры равны друг другу.
Упражнение 3. Исследуйте, имеется ли центр у фигуры Рело (рис. 4 и 5).
Упражнение 4. а) Какие из известных Вам четырехугольников имеют центр и являются поэтому центрально-симметричными фигурами? б) Ответьте на аналогичный вопрос для правильных многоугольников.
§ 3. ОСЕВАЯ СИММЕТРИЯ КРУГА
Пусть на чертеже изображена плоская фигура, которая после поворота вокруг некоторой прямой,—удобнее всего это сделать, перегнув чертеж, — совмещается сама с собой; такую фигуру называют симметричной относительно этой прямой, а прямую — осью симметрии. Так, например, окружность симметрична относительно любого своего диаметра, принимаемого за ось. В таблице, приводимой ниже (стр. 12), мы даем примеры фигур, обладающих осевой симметрией; элементами их являются окружность и некоторые другие геометрические образы. (Во втором столбце таблички указывается положение оси симметрии.) При этом мы будем пользоваться следующими определениями: прямая, проходящая через какие-нибудь две точки окружности, называется секущей; прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку (т. е. касающаяся окружности), называется касательной.
Факты, которые мы собираемся изложить в отдельных пунктах этого параграфа, являются непосредственными следствиями осевой симметрии фигур. В справедливости их можно убедиться либо просто наглядным путем, либо с помощью несложных умозаключений.
11
Фигура:
Ось симметрии:
Окружность и ...
Секущая, проходящая через центр и ...
1.
точка
через точку
2.
хорда
перпендикулярная к хорде
3.
касательная
через точку касания
4.
две касательные
через точку пересечения касательных
5.
еще одна окружность, не пересекающаяся с первой
¦
6.
еще одна окружность, щаяся первой
касаю-
через центр второй окружности
7.
еще одна окружность, кающая первую
пересе-
1. Пусть А и В — точки пересечения окружности и секущей, проходящей через центр О и некоторую точку P (рис. 6); тогда точки А и В можно рассматривать как
самые отдаленные или самые близкие по отношению к P точки окружности. Хотя этот факт достаточно очевиден, но мы все же докажем его, опираясь на хорошо известное предложение, которое можно найти в любом учебнике геометрии. Пусть С — произвольная точка окружности. Тогда (об этом упоминается ниже, в п. 2 этого параграфа) ZOBC = = ZOCB и, следовательно, ZBCP < ZOCB = ZOBC9 если только P лежит между О и ?. А поскольку во всяком треугольнике (A BCP) против большего угла лежит большая сторона, то CP > PB.
Упражнение 5. Докажите подобным же образом вторую часть утверждения.
2. Непосредственно из рис. 7 мы заключаем: ось симметрии является перпендикуляром, восставленным к хорде в ее середине; она делит пополам не только хорду, но и обе стягиваемые ею дуги, а также централь-
