Старое и новое о круге - Литцман В.
Скачать (прямая ссылка):
После такой несколько затянувшейся подготовки мы вернемся к нашей задаче. Построим зеркальное отражение нашего вспомогательного треугольника ABC относительно стороны AB и получим точку С, соответствующую точке С. Из точки А как из центра радиусом AC опишем дугу; то же сделаем из точки В радиусом ВС. Мы утверждаем, что наша специальная луночка равновелика дельтоиду ACBC', т. е. допускает квадратуру., Пусть 5 — площадь луночки, Sn—площадь сектора круга с центром в A1 Sb — площадь сектора с центром в В и, наконец, Sd—площадь дельтоида АСВС; тогда
S = Sb ~f- Sd Sa.
Но
Sa = тс (a V З)" -щт и Sb — ъа2 180о
37.
т. е.
Sa —
и, следовательно,
S=S
d
6. После построения такой специальной луночки перейдем к вопросу о существовании других луночек, допускающих квадратуру. Удачным будет такой подбор величин (если воспользоваться обозначениями рис. 57), чтобы удовлетворялись соотношения а : ?' — р : q и одновременно AC : ВС — Vq : VP- В случае, рассмотренном в п. 4 и 5, было р = 1 и q — 3. Теперь осталось только выяснить, можно ли с помощью циркуля и линейки построить соответствующий треугольник ABC. Известно, что это можно сделать только в следующих случаях (помимо указанного):
1) = 2, 0 = 3. 2) p=U 0 = 5, 3) р = 3; q = 5. Само построение из-за недостатка места мы здесь опус-.
58
тим. Если читатель пожелает его выполнить, то ему можно порекомендовать начинать построение с первого случая, который родствен рассмотренному в п. 4.
Мы указали здесь всего пять луночек, допускающих квадратуру. Они являются единственными- до сих пор известными; но все еще не доказано, действительно ли они являются единственными из существующих или имеются еще и другие луночки, допускающие квадратуру. На этом остающемся без ответа вопросе, который снова показывает, что и в математике есть проблемы, кажущиеся совсем простыми только благодаря доступности их формулировки, но которые все еще" ждут своего решения, мы и закончим наш рассказ про старое и новое о круге.
ЛИТЕРАТУРА
Евклид, «Начала», перев. с греч., т. 1—3, M.—Л., 1948—1950.
О квадратуре круга. (Архимед, Гюйгенс, Ламберт, Лежандр.)
С приложением истории вопроса, перев. с нем., 3-е изд., М.—Л., 1936.
Адам а р Ж-, Элементарная геометрия, ч. 1, перев. с франц., M., 1948.
Перепелкин Д. И., Курс элементарной геометрии, ч. 1, М.—Л., 1948.
P а д е м а X е р Г., Теплиц О., Числа и фигуры, перев. с нем.,
2-е изд., М—Л., 1938. Яглом И. M., Болтянский В. Г., Выпуклые фигуры, М.—Л..
1951.
Л и т ц м а н В., Теорема Пифагора, перев. с нем., M., 1960.
СОДЕРЖАНИЕ
Предисловие ........................ 3
§ 1. Введение........................ 5
§ 2. Определение круга и окружности............ 7
§ 3. Осевая симметрия круга................ И
§ 4. Описанные треугольники и четырехугольники...... 17
§ 5. Теоремы о вписанном угле и вписанном четырехугольнике 22
§ 6. Теоремы о хордах и секущих.............. 34
§ 7. Длина окружности и площадь круга.......... 38
§ 8. Многоугольники, составленные из дуг, и луночки .... 54
Литература......................... 59
¦
Сдано в набор 22/V1II 1960 г. Подписано к печати '22/XI I960 г. Бумага 84х108/за. Фнз. печ. л. 1,875. Условн. печ. л. 3,08. Уч.-изд. л. 2,80.
Тираж 25 000 экз. Т-09000. Цена книги 85 к. С 1/1 1961 г. цена 9 к. Заказ № 1745.
»
Вальтер Литцман Старое и новое о круге
Редактор А. П. Баєва Техн. редактор 3. М. Петручук Корректор И. С. Ц
Сдано в набор 22/V1II 1960 г. Подписано к печати 22/XI I960 г. Бумага 8 Фнз. печ. л. 1,875. Условн. печ. л. 3,08. Уч.-изд.
Тираж 25 000 экз. Т-09000. Цена книги 85 к. С 1/1 1961 г. цена 9 к. Заказ
Государственное издательство физико-математической литературы.
Москва, В-71, Ленинский проспект, 15.
Типография JV? 2 им. Евг. Соколовой УПП Ленсовиархоза.
Ленинград, Измайловский пр., 29.
\
\
Цена 85 к.
С 1/1 1961 г. цена 9
