Старое и новое о круге - Литцман В.
Скачать (прямая ссылка):
§ 8. МНОГОУГОЛЬНИКИ, СОСТАВЛЕННЫЕ
ИЗ ДУГ, И ЛУНОЧКИ
1. То обстоятельство, что площадь круга поддается вычислению, существенным образом расширяет возможности нахождения площадей некоторых других замкнутых фигур. Напомним в связи с этим, что, овладев какой-нибудь одной формулой, выражающей площадь
треугольника (например, S = -^ahai где а — сторона
треугольника, a ha — соответствующая ей высота), мы, в принципе, можем найти площадь любого многоугольника; для этого его только нужно разбить на треугольники. Такой подход к использованию площади круга возможен только при вычислении площадей замкнутых фигур, ограниченных либо исключительно дугами окружностей, либо дугами и отрезками. В самом деле, нахождение площади любого сектора не вызывает затруднений, поэтому можно найти площадь любого сегмента, рассматривая его как разность (или сумму) сектора и треугольника. Еще греческие математики пользовались некоторыми замечательными по своим свойствам многоугольниками, составленными из дуг. Укажем в качестве примера две фигуры Архимеда, величайшего древнегреческого математика: арбелон (фигура, имеющая форму искривленного сапожного ножа) и салинон (можно перевести как бочонок для соли). Арбелон есть дуговой треугольник, образованный полуокружностями, построенными на некотором отрезке и на двух его со-
54
ставных частях. Салинон — это дуговой четырехугольник, составленный из четырех полуокружностей и обладающий осевой симметрией.
Упражнение 39. На рис. 52, 53 названные выше дуговые многоугольники вычерчены жирными линиями; помимо них на каждом из этих рисунков име-
Рис. 52. Рис. 53.
2. Луночки Гиппократа. На рис. 54 изображен прямоугольный треугольник, на гипотенузе и катетах которого как на диаметрах построены полуокружности, обращенные в одну сторону. При этом образуются два двуугольника, составленные из дуг окружностей, называемые луночками (на рис. 54 они заштрихованы) . Эту фигуру часто приписывают Гиппократу, греческому математику, жившему около 440 г. до н. э. (т. е. еадолго до E в-клида), много занимавшемуся задачей о квадратуре круга. Но по современным данным предложение о луночках впервые встречается около 1000 г. н. э. у одного арабского писателя, и на Западе оно стало известным лишь в 17 веке. Если основываться на греческих источниках, в которых упоминается эта работа, то Гиппократу можно приписать лишь тот частный случай, когда прямоугольный треугольник является равнобедренным; другими словами, он нашел площадь двуугольника, образованного полуокружностью и дугою в четверть окружности. Рисунок 55 представляет не что иное, как четыре настоящие луночки Гиппократа, расположенные специальным образом.
55
Упражнение 40. Докажите, что сумма площадей заштрихованных луночек (рис. 54) равна площади прямоугольного треугольника.
Упражнение 41. Как связаны между собою площадь квадрата на рис. 55 и площади прилежащих к нему луночек?
3. Рассмотренный выше пример представляет собой замечательный случай квадратуры. Известно, что с помощью линейки и циркуля нельзя построить такой квадрат, площадь которого равнялась бы площади дан-
тем, если требуется, квадрат. Нетрудно указать и другие дуговые многоугольники, которые также допускают квадратуру. На рис. 56 изображен дуговой треугольник, построение которого понятно без объяснения. Он допускает квадратуру.
Упражнение 42. Какая фигура, ограниченная прямолинейными отрезками, равновелика дуговому треугольнику, изображенному на рис. 56?
¦
Займемся теперь вопросом, какие двуугольники, или, как мы их назвали, луночки допускают квадратуру. Эту
задачу можно высказать иначе так: как найти те лу-
ночки, для которых при помощи циркуля и линейки можно построить равновеликие им треугольники или четырехугольники?
ного круга. В случае же двуугольника, составленного из дуг окружностей, это оказывается возможным: сначала можно по-
строить равновеликий ему треугольник, а -за-
P и с. 55.
Рис. 56.
56
4. Построение вспомогательного треугольника. Прежде чем перейти к интересующему нас вопросу, построим вспомогательный треугольник ABC со сторонами
ВС = a, AC = aV\ AB = aV 1 + где а — произвольный отрезок. Это нетрудно сделать, так как по заданному а две другие стороны треугольника можно найти с помощью циркуля и линейки (сторону AB как среднюю пропорциональную между ВС и AC + ВС).
Рис. 57.
Проведем в этом треугольнике (рис. 57) биссектрису CD угла 7. Тогда ACBD со AABC Чтобы это доказать, вспомним свойство биссектрисы внутреннего угла треугольника, согласно которому
AD .DB= AC: BC=VS: 1
и, так как
AD + DB = AB = aV~\ +/З,
то
DB = aV\ +/3-!
а
Треугольники CBD и ABC имеют общий угол ? и стороны их, прилежащие к этому углу, пропорциональны.
Действительно,
СВ:ВВ = а: г а _ = V\ +/3
57
и
ab : cb = aV\ + K З : a =VT+VS.
Таким образом, по первому признаку подобия они подобны. Отсюда 7 = 2а и по теореме о внешнем угле треугольника имеем:
?' = За.
5. Построение луночки, допускающей квадратуру.
