Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Литцман В. -> "Старое и новое о круге" -> 14

Старое и новое о круге - Литцман В.

Литцман В. Старое и новое о круге. Под редакцией Баєва А. П. — М.:Физико-математической литературы., 1960. — 59 c.
Скачать (прямая ссылка): strinok1960.djvu
Предыдущая << 1 .. 8 9 10 11 12 13 < 14 > 15 16 .. 17 >> Следующая


Так, например, для п = 4 и

Rn

і

VX

п

2

мы имеем:

Обозначим на рис. 48 хорду AB через ап, а точки пересечения окружности, описанной около правильного /г-угольника с перпендикуляром ОД восставленным из середины хорды, через С и Ог\ причем пусть С лежит вне отрезка OD этого перпендикуляра за точкой D, а О'— за О. Через середину D' отрезка DO' проведем прямую, параллельную AB1 пересекающуюся с АО' в А\

47

& с ВО' — в В\ Тогда А'В' = -^ Un = O2n. и вся задача

сводится к тому, чтобы по найденной стороне Ct2n вычислить соответствующие значения радиусов R2n — = О'А' и r2n = 0'D'. Мы имеем

OfDf = ±0'D = \ (О'О + OD),

или

1

В прямоугольном треугольнике OMC по теореме Евклида О*А2 = OfС • О'/). Это дает нам

<2/?2я)* = 2^rt . 2r2„. Откуда следует Я2„ = V Rn • г2п.

Таким образом, исходя из Rn и /-„,совершенно также как в п. 5 и 6 можно вывести рекуррентные формулы сначала для г2п, а затем для ^2n и продолжать этим же путем вычисление как угодно далекЬ.

Упражнение 38. Начав с правильного шестиугольника с периметром 6, перейдите затем к 12-уголънику и 24-угольннку. Какие границы получаются при этом для ? ?

8. Вычисления при постоянной площади и переменном радиусе. Вместо того, чтобы в правильном многоугольнике оставлять неизменным периметр, можно считать постоянной его площадь и, удваивая число сторон, все более и более сближать между собой описанные и вписанные окружности. Пусть площадь треугольника OAB (рис. 49), являющегося частью правильного л-уголь-ника равна / ; нам нужно Рис. 49. превратить его в два треуголь-

ника OCD и OED, являющихся частями правильного 2/г-угольника и имеющих такую же общую площадь, как и AAOB. Мы не будем здесь заниматься подробным вычислением, а дадим лишь конечный результат. Между радиусами вписанной окружности

48

гп и r2n и радиусами описанной окружности Rn и R7n имеют место соотношения

Читатель может вывести их самостоятельно, пользуясь следующими указаниями: формула (1) получается сразу же из условия равенства площадей треугольников AOF и COD (т. е. половины площади треугольника, из которых составляется п-угольник и площади треугольника, из которых составлен 2/2-угольник) и из теоремы о том, что площади треугольников, имеющих по равному углу, относятся как произведения сторон, заключающих эти углы. При выводе второй формулы можно снова исходить из равенства: AOAB = 2AODE, откуда

гп' ап — ^г2п ' а2п- Затем, например, у Cin и -2-а2/1 можно

выразить через Rn, гп, /?2„, г2п с помощью теоремы Пифагора. В этих преобразованиях целесообразно пользоваться формулой (1).

9. Пифагоровы тройки чисел и окружность. Во всех четырех случаях вычисления числа ти, рассмотренных в предыдущих пунктах, мы сталкиваемся с одними и теми же трудностями: каждая рекуррентная формула содержит квадратные корни, которые постоянно наслаиваются друг на друга, и при численных вычислениях порождают неточности. Возникает вопрос, нельзя ли вместо иррациональных приближений для тс, которые давали нам все до сих пор рассмотренные методы, найти рациональные приближения с помощью обыкновенных дробей? Здесь приходят на помощь пифагоровы тройки чисел. Известно, что существуют целые числа, которые удовлетворяют уравнению

выражающему теорему Пифагора; более того, известно, что таких чисел бесконечное множество. Запишем это уравнение в виде

(1)

(2)

4 Зак. 1745. В. Литцыан

49

На рис. 50 изображена четверть круга радиуса 1; отложим от центра вдоль горизонтального радиуса отрезок

длиною X

а

а затем из полученной точки восставим

перпендикуляр длиною у = ~; тогда мы попадем

в точку, лежащую на нашей окружности. Для краткости точку с рациональными координатами мы будем называть рациональной точкой окружности. Один из путей, приводящих к ответу на поставленный выше вопрос,

будет такой: нанесем на окружность достаточное количество близко расположенных рациональных точек, как это сделано на рис. 50, построим трапеции, определяемые каждой парой соседних точек, подобно тому как это делалось в п. 3 (которые теперь, конечно, не будут равной ширины), и вычислим их площадь. Этот путь избавляет нас от вычислений с радикалами, хотя еще не совсем ясно, действительно ли будет вычисление с дробями проще, чем вычисление с квадратными радикалами, для которого всегда можно воспользоваться таблицами.

Чтобы дать читателю возможность провести подобное вычисление, укажем, как можно построить достаточно плотное множество рациональных точек. Положим:

2k l—k2

X = -. . ... . у

¦ Ь WiE

15 8 17'її

TJ

A JS WW ?12 131IB . 7_П

25'M

Рис. 50.

l+k*

если k принимает, например, числовые значения 0; 0,1; 0,2; ... 0,9; I1 то х и у будут рациональными. С другой стороны, мы имеем:

у2= (2fe)* + (l-fe2)2

X

(1 + ^2)2

і;

таким образом, мы действительно получили рациональные точки окружности. Для упрощения вычислений можно вместо полной четверти круга взять часть ее,

50

рассматривая вспомогательный равносторонний треугольник подобно тому, как мы это делали в п. 3. Правда, при этом приходится все же иметь дело с одним иррациональным значением, а именно, с Уз.
Предыдущая << 1 .. 8 9 10 11 12 13 < 14 > 15 16 .. 17 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed