Старое и новое о круге - Литцман В.
Скачать (прямая ссылка):
Так, например, для п = 4 и
Rn
і
VX
п
2
мы имеем:
Обозначим на рис. 48 хорду AB через ап, а точки пересечения окружности, описанной около правильного /г-угольника с перпендикуляром ОД восставленным из середины хорды, через С и Ог\ причем пусть С лежит вне отрезка OD этого перпендикуляра за точкой D, а О'— за О. Через середину D' отрезка DO' проведем прямую, параллельную AB1 пересекающуюся с АО' в А\
47
& с ВО' — в В\ Тогда А'В' = -^ Un = O2n. и вся задача
сводится к тому, чтобы по найденной стороне Ct2n вычислить соответствующие значения радиусов R2n — = О'А' и r2n = 0'D'. Мы имеем
OfDf = ±0'D = \ (О'О + OD),
или
1
В прямоугольном треугольнике OMC по теореме Евклида О*А2 = OfС • О'/). Это дает нам
<2/?2я)* = 2^rt . 2r2„. Откуда следует Я2„ = V Rn • г2п.
Таким образом, исходя из Rn и /-„,совершенно также как в п. 5 и 6 можно вывести рекуррентные формулы сначала для г2п, а затем для ^2n и продолжать этим же путем вычисление как угодно далекЬ.
Упражнение 38. Начав с правильного шестиугольника с периметром 6, перейдите затем к 12-уголънику и 24-угольннку. Какие границы получаются при этом для ? ?
8. Вычисления при постоянной площади и переменном радиусе. Вместо того, чтобы в правильном многоугольнике оставлять неизменным периметр, можно считать постоянной его площадь и, удваивая число сторон, все более и более сближать между собой описанные и вписанные окружности. Пусть площадь треугольника OAB (рис. 49), являющегося частью правильного л-уголь-ника равна / ; нам нужно Рис. 49. превратить его в два треуголь-
ника OCD и OED, являющихся частями правильного 2/г-угольника и имеющих такую же общую площадь, как и AAOB. Мы не будем здесь заниматься подробным вычислением, а дадим лишь конечный результат. Между радиусами вписанной окружности
48
гп и r2n и радиусами описанной окружности Rn и R7n имеют место соотношения
Читатель может вывести их самостоятельно, пользуясь следующими указаниями: формула (1) получается сразу же из условия равенства площадей треугольников AOF и COD (т. е. половины площади треугольника, из которых составляется п-угольник и площади треугольника, из которых составлен 2/2-угольник) и из теоремы о том, что площади треугольников, имеющих по равному углу, относятся как произведения сторон, заключающих эти углы. При выводе второй формулы можно снова исходить из равенства: AOAB = 2AODE, откуда
гп' ап — ^г2п ' а2п- Затем, например, у Cin и -2-а2/1 можно
выразить через Rn, гп, /?2„, г2п с помощью теоремы Пифагора. В этих преобразованиях целесообразно пользоваться формулой (1).
9. Пифагоровы тройки чисел и окружность. Во всех четырех случаях вычисления числа ти, рассмотренных в предыдущих пунктах, мы сталкиваемся с одними и теми же трудностями: каждая рекуррентная формула содержит квадратные корни, которые постоянно наслаиваются друг на друга, и при численных вычислениях порождают неточности. Возникает вопрос, нельзя ли вместо иррациональных приближений для тс, которые давали нам все до сих пор рассмотренные методы, найти рациональные приближения с помощью обыкновенных дробей? Здесь приходят на помощь пифагоровы тройки чисел. Известно, что существуют целые числа, которые удовлетворяют уравнению
выражающему теорему Пифагора; более того, известно, что таких чисел бесконечное множество. Запишем это уравнение в виде
(1)
(2)
4 Зак. 1745. В. Литцыан
49
На рис. 50 изображена четверть круга радиуса 1; отложим от центра вдоль горизонтального радиуса отрезок
длиною X
а
а затем из полученной точки восставим
перпендикуляр длиною у = ~; тогда мы попадем
в точку, лежащую на нашей окружности. Для краткости точку с рациональными координатами мы будем называть рациональной точкой окружности. Один из путей, приводящих к ответу на поставленный выше вопрос,
будет такой: нанесем на окружность достаточное количество близко расположенных рациональных точек, как это сделано на рис. 50, построим трапеции, определяемые каждой парой соседних точек, подобно тому как это делалось в п. 3 (которые теперь, конечно, не будут равной ширины), и вычислим их площадь. Этот путь избавляет нас от вычислений с радикалами, хотя еще не совсем ясно, действительно ли будет вычисление с дробями проще, чем вычисление с квадратными радикалами, для которого всегда можно воспользоваться таблицами.
Чтобы дать читателю возможность провести подобное вычисление, укажем, как можно построить достаточно плотное множество рациональных точек. Положим:
2k l—k2
X = -. . ... . у
¦ Ь WiE
15 8 17'її
TJ
A JS WW ?12 131IB . 7_П
25'M
Рис. 50.
l+k*
если k принимает, например, числовые значения 0; 0,1; 0,2; ... 0,9; I1 то х и у будут рациональными. С другой стороны, мы имеем:
у2= (2fe)* + (l-fe2)2
X
(1 + ^2)2
і;
таким образом, мы действительно получили рациональные точки окружности. Для упрощения вычислений можно вместо полной четверти круга взять часть ее,
50
рассматривая вспомогательный равносторонний треугольник подобно тому, как мы это делали в п. 3. Правда, при этом приходится все же иметь дело с одним иррациональным значением, а именно, с Уз.