Старое и новое о круге - Литцман В.
Скачать (прямая ссылка):
43
описанного квадрата SA — 4г2 — верхняя граница площади круга. Эти границы, конечно, весьма широкие.
Вследствие замечания из п. 2 достаточно провести вычисление либо только для длины окружности, либо только для площади круга. Таким образом, нам открыты два пути, и вопрос лишь в том, как в каждом отдельном случае можно достаточно сузить границы. Для этого нам нужно найти какой-нибудь закон, позволяющий непрерывно увеличивать число сторон многоугольника. Оказывается удобным, например, делать это при помощи удвоения, переходя от /z-угольника к 2«-уголь-нику. Здесь опять есть два пути: либо закрепить длину окружности (или площадь круга) и менять периметр и, соответственно, площадь многоугольника, либо, наоборот, закрепить периметр или площадь многоугольника и менять радиус вписанного и, соответственно.
ношением между сторонами вписанного я-угольника и сторонами вписанного 2/г-угольника. Для вывода этих соотношений мы воспользуемся теоремой Пифагора и признаком подобия треугольников, имеющих по два равных угла.
Пусть AB = On — сторона n-угольника (рис. 47), AC = а2п—сторона 2/г-угольника, вписанных в окружность радиуса 1. Пусть С — точка пересечения AB с ОС. Тогда
О
описанного круга. Таким образом, мы располагаем всего четырьмя возможностями.
Рис. 47.
5. Вычисление длины окружности при постоянном радиусе. В наших рассуждениях мы будем пользоваться: 1) соотношением между сторонами правильного вписанного и описанного /г-угольников и 2) соот-
и, следовательно,
1
1.
44
Возводя в квадрат, получаем
откуда
У 2-/4
«2«= V 2 — V 4 — al.
¦ш
Таким образом, зная ап, всегда можно найти а2п* Так, например, если а6 = I1 то
Легко заметить, что при переходе от заданного значения ап к а2, мы всегда сталкиваемся с вычислением квадратного корня.
Сторону An описанного /г-угольника мы получаем с помощью пропорции1):
Ап:ап = ОС :ОС; отсюда, в силу того, что OC = 1, и
OC = ±V*-a\,
получаем:
+
А
То обстоятельство, что при неограниченном возрастании п периметры вписанных и описанных многоугольников стремятся к одному и тому же пределу, а именно
J) Эта пропорция является следствием второго признака подобия. Но воспользовавшись теоремой о том, что площади двух треугольников, имеющих по равному углу, относятся как произведения сторон, заключающих равный угол, эту пропорцию можно доказать и без ссылки на подобие фигур. Для этого мы дважды запишем отношение площадей треугольников ОА'С и OAC и приравняем эти отношения друг к другу:
OA' - А'С -.OA-AC= OA' • ОС : OA ¦ ОС.
Отсюда следует
А'С : AC=OC : ОС
и поэтому также
А'В': AB = ОС : ОС
45
к длине окружности, вытекает из того, что при неограниченном возрастании п отношение периметров
pa:Pa = lV4-a*a
2
стремится к единице.
Упражнение 33. Вычислите сторону правильного шестиугольника, описанного около окружности радиуса 1.
Вычисление сторон и периметров последовательных вписанных и описанных правильных многоугольников по этой формуле оказывается весьма затруднительным, так как из выражений, содержащих квадратные корни, снова приходится извлекать квадратные корни. В учебниках обыкновенно даются таблицы, пользуясь которыми можно, начиная, например, с шестиугольника, шаг за шагом продвинуться до 96-угольника.
Упражнение 34. Выразить A2n через ап\ Упражнение 35. Выведите следующие две формулы для периметров:
1
Р*п 2 \ Pr, * Pr, I' ГЧп— Г Fn ' 2п
P*n = VPn-Р%
Соотношения, приведенные в этих упражнениях, упрощают вычисления. Исходя из периметра вписанного и описанного гс-угольника, можно вычислить сначала периметр описанного 2п-угольника, а затем периметр вписанного 2/г-угольника, не заботясь при этом об а2 и A2n.
Упражнение 36. Перейдите от 6-угольника к 12-угольнику, а от него к 24-у голышку. Какие границы получаются при этом
для 71?
6. Вычисление площади круга при постоянном радиусе. Площадь fn треугольника AOB (рис. 47), являющегося частью правильного вписанного л-угольника, равна
f ....._«пОС _«пУ*=1?п
Jn 9 4
Площадь f2n треугольника А ОС, являющегося ча стью соответствующего правильного вписанного 2п угольника, равна
f _ ОС1 -АС _ап
-
і
46
Площади Fn и F2n мы снова можем найти, восполь вовавшись подобием треугольников AOC и А"ОС:
Fn:fn=\:0O
Следовательно,
F
а
п
аналогично получаем
F
а
2п
п
2 + 1/4-4
Площади /г-угольников будут равны sn = n -fn]S2n = — 2n*f2n; Sn = n*Fn; S2n = 2n*F2n. Пользуясь найден ными выражениями, легко получить рекуррентные формулы
VsnSn\
1
1(JL
1
S
Таким образом, зная Sn и соответственно Sn можно сначала
найти S2n, а затем S2nH продолжать этим путем вычисления как угодно далеко.
Упражнение 37. Начав с квадрата, перейдите к 8-угольнику, а затем к 16-угольнику.
Какие границы получаются при этом для тс?
7. Вычисления при постоянном периметре и переменном радиусе. Пусть а„ — сторона правильного /г-уголь-ника и пусть Rn соответствующий радиус описанной, а гп — вписанной окружности.
