Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Литцман В. -> "Старое и новое о круге" -> 12

Старое и новое о круге - Литцман В.

Литцман В. Старое и новое о круге. Под редакцией Баєва А. П. — М.:Физико-математической литературы., 1960. — 59 c.
Скачать (прямая ссылка): strinok1960.djvu
Предыдущая << 1 .. 6 7 8 9 10 11 < 12 > 13 14 15 16 .. 17 >> Следующая


i-r - те • 2г = т.г2.

Отметим еще одно упрощение. Оно состоит в том, что нет необходимости вычислять длину каждой окруж-

40

ности или площадь каждого круга в отдельности. В конце концов дело сводится к тому, чтобы найти множитель тг, входящий в формулы С = 2ъг и S = т.г2. Таким образом, проведя вычисление, например, для окружности радиуса в 1 см или в 10 см, мы тем самым исчерпали проблему вообще.

К вычислению длины окружности и площади круга сводится также вычисление длины дуги и площади сектора. Если Ь — дуга окружности, а ф — соответствующий ей центральный угол, измеренный в градусах, то из пропорции

2т:г:? = 360:ср получим для длины дуги формулу

и 360 •

Площадь сектора с с центральным углом <р, измеренным в градусах, выразится формулой

360 '

которая сразу получается из пропорции

т.г2: а —360 : ср.

Если в выражении для площади сектора заменить длину дуги через Ь, то получается другое выражение для площади в виде

Ъг

3. Вычисление площади круга методом трапеций. Площадь круга, или, для упрощения задачи, площадь одной четверти круга, можно найти еще так называемым методом трапеций. Следуя этому методу, часто встречающемуся в практике вычисления площадей, мы разбиваем круг на полосы одинаковой принимаются за трапеции (рис. 45).

Рис. 45.

ширины, которые Затем вычисляем их площади и полученные результаты складываем. Можно сразу же заметить, что для длинных полос такая замена влечет за собой сравнительно небольшую

41

? А

ошибку; серьезнее обстоит дело с короткими полосами, особенно с последней, вырождающейся в треугольник. Поэтому мы постараемся несколько улучшить этот метод (рис. 46). Проведем из середины С одного граничного радиуса OB нашей четверти круга прямую CD1 параллельную другому граничному радиусу OA. Тогда

ZDOC = 60°, ZODC - 30°- Согласно только что описанному методу трапеций, найдем площадь фигуры AOCDi отнимем от нее треугольник ODC1 равный половине равностороннего треугольника ODB1 и получим площадь сектора OAD\ отсюда уже сразу можно найти полную площадь круга. Практически работу можно выполнить так: аккуратно^ начертить окружность и полосы, возможно точнее измерить длины отрезков, а затем вычислить площадь всех трапеций. Можно, однако, найти длины полос и вычислительным путем, пользуясь для этого теоремой Пифагора, которая гласит: квадрат гипотенузы прямоугольного треугольника равен сумме квадратов катетов. Примем радиус окружности равным 10 см и разделим его на пять частей. Тогда ширина (высота) каждой трапеции будет 1 см. Вычислим длины параллельных отрезков (оснований). Прежде всего OA ~ = 10 см. Далее, из прямоугольного треугольника OC]Ai

находим CiAi = VlO2— I2 = 1^99. Таким же путем для остальных отрезков получаем:

0 Cj Cg С$ Cq С

Рис. 46.

в

с2л2 = 1Ло2

92

/96, C3A3

C4A4 = V 84, CD = /75.

/91,

Корни можно вычислить либо непосредственно, либо найти по таблицам. Площадь трапеции с основаниями а

и 6 и высотой ht как известно, равна а^Ь Л. Так

как

h = I1 то площадь с\ фигуры ADCO выразится суммой

5 + /99 + /96 + /91 + /84+- /75.

42

Площадь треугольника OCD равна 2,5- V75. Теперь можно вычислить площадь всего круга; она оказывается равной 313,6; таким образом, тг = 3,136. В самом деле, значение т. с пятью верными цифрами равно 3,1416. При помощи этого метода можно добиться сколь угодно большой точности, нужно лишь число полос взять достаточно большим.

4. Вычисление с помощью правильных многоугольников. Для вычисления т. было предпринято бесчисленное множество попыток. К этой задаче пробовали подойти геометрически, пытаясь с помощью циркуля и линейки построить такой квадрат, площадь которого была бы равна площади круга или периметр которого равнялся бы длине окружности. Это не удалось сделать, и лишь примерно через 2000 лет после первых попыток немецкий математик Линдеман доказал, что этого вообще нельзя было достигнуть. Затем начались поиски наилучших приближенных методов для таких построений. Было найдено множество методов. С другой стороны, задачу пытались поставить как чисто вычислительную. При этом сначала тоже нужно было преодолеть одно затруднение: если допускалось извлечение корней произвольной степени или решение уравнений п~и степени, то численное значение тс все равно получалось неточным. Современные методы позволяют вычислить число тс с любой наперед заданной точностью; например, его можно представить в виде бесконечного ряда. Этим вопросом мы здесь заниматься не будем, а ограничимся лишь указанием некоторых совсем элементарных способов вычисления it (с любой точностью!).

Вопрос о приближенном вычислении длины окружности и площади круга тесно связан с построением правильных многоугольников.

С помощью правильных вписанных и описанных многоугольников можно простым способом получать верхние и нижние границы как для длины окружности, так и для площади круга. Так, например, периметр правильного вписанного шестиугольника р6 = 6г является нижней границей длины окружности, а периметр соответствующего описанного шестиугольника Pe = 4 Y 3 • г — верхней границей. Подобно этому, например, площадь вписанного квадрата 54 = 2г2 — нижняя, а площадь
Предыдущая << 1 .. 6 7 8 9 10 11 < 12 > 13 14 15 16 .. 17 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed