Старое и новое о круге - Литцман В.
Скачать (прямая ссылка):
Однако обычно поступают иначе: на отрезке В от точки В откладывают отрезок, равный BD, полученная точка F будет искомой. Чтобы доказать это, воспользуемся одним предложением из теории пропорций: если справедлива пропорция
BD: DE = DE: BE,
37
то будет справедлива и пропорция
DE : (BE — DE) = BD : (DE — BD).
В этом проще всего убедиться, проверив, что произведения крайних членов и средних членов новой пропорции равны между собой вследствие исходной пропорции; действительно,
DE2 —DE . BD = BE -BD —DE- BD.
Но эту новую пропорцию можно переписать в виде
ВС :BF = BF: FC
Таким образом, точка F делит отрезок ВС желаемым образом. Такое деление отрезка называют непрерывным или гармоническим, или делением в среднем и крайнем отношении, или золотым сечением.
Это деление было известно еще Пифагору; оно связано с построением правильного пятиугольника. Термин «золотое сечение» появился только в 19 веке.
§ 7. ДЛИНА ОКРУЖНОСТИ И ПЛОЩАДЬ КРУГА
1. Результаты опыта. Длину окружности можно найти, например, раскатывая ее как обруч вдоль некоторой прямой линии на один оборот, а еще лучше на несколько оборотов, а затем деля длину найденного отрезка на число оборотов. Проделав такой опыт, скажем, с большой монетой, имеющей гладкие края, или с колесом велосипеда, можно убедиться, что отношение длины окружности к диаметру несколько превышает 3. Число, выражающее это отношение, обозначают, как известно, через тс.
Чтобы определить площадь круга, его покрывают сеткой квадратов, стороны которых равны единице длины. Обозначая через а число квадратов, лежащих внутри круга целиком, а через Ъ—число квадратов, которые окружностью пересекаются, можно считать при-
ближенной мерой площади круга число а-\-~^\ при этом
мы допускаем, что половина из рассеченных квадратов лежит вне круга и половина внутри. Для проведения этого опыта удобно воспользоваться миллиметровой бу-
38
магои, начертив на ней круг радиусом в 10 см, причем достаточно рассмотреть только одну четвертую его часть, или, может быть, даже одну восьмую. Результат такого опыта показывает, что множитель, на который нужно умножить квадрат радиуса, чтобы получить площадь круга, есть число, близкое к тому числу тг, с которым мы встретились при нахождении длины окружности.
Подсчет числа квадратов, о которых мы только что говорили, можно заменить подсчетом числа узловых точек квадратной сетки, попадающих внутрь круга. Такие вычисления были предприняты Гауссом. Если через /(Y) обозначить число узловых точек квадратной сетки, оказывающихся внутри круга радиуса rt то для числа
/(г)
получаются следующие значения:
г = 5 10 20 30 100 200 30Э f(r)= 81 317 1257 2831 31417 125629 282697
/0=3,24 3,17 3,1425 3,134 3,1417 3,140725 3,14107 г*
Изучая эту последовательность чисел, мы замечаем, что она стремится к истинному значению т. = 3,1415926... совсем неравномерно. При г — 20 второй знак после запятой оказывается уже верным, но следующее значение становится менее точным.
Вместо длительного подсчета квадратов или узловых точек можно, конечно, произвести более решительный опыт: из однородной плотной бумаги постоянной толщины вырезать круг радиуса 10 см и взвесить его возможно точнее на весах, а затем сравнить найденный вес с весом квадрата со стороной в 10 см, вырезанного из
такой же бумаги.
2. Соотношение между длиной окружности и площадью круга. Разделим круг на двенадцать одинаковых секторов, как это часто делают хозяйки, разрезая торт. Составим теперь кусочки торта так, как это показано на рис. '44. Таким образом, мы получим фигуру, напоминающую параллелограмм, в которой одна пара параллельных сторон составлена из дуг. Какой вид примет фигура, если вместо двенадцати одинаковых секторов взять 24? Прежде всего, стороны, составленные из дуг, приблизятся к отрезкам AD и Bd Затем угол ABCx
I
39
который был до этого равен 90° + 15° = 105°, теперь станет равным 90° + 71Z20 = 97'/2°. Ну, а дальше? Что произойдет, если число секторов будет и далее увеличиваться? При достаточно большом их числе составленные из маленьких дужек стороны AD и ВС практически не будут отличаться от прямых AD и ВС, а угол АБС настолько приблизится к прямому, что станет от него неотличим. Увеличивая число секторов, мы неограниченно приближаемся к прямоугольнику, в котором длина большей стороны равна длине полуокружности, а длина меньшей — радиусу. Но площадь каждой получавшейся
Рис. 44.
у нас фигуры в точности равнялась площади круга. Таким образом, мы нашли зависимость между длиной окружности С, площадью круга S и "радиусом круга г:
Упражнение 31. Какой вид примет фигура и соответствующее рассуждение, если число секторов взять нечетным?
Упражнение 32. Отделите от фигуры половину крайнего сектора и приставьте его с другой стороны. Как упростится при этом рассуждение?
Это соотношение весьма существенно облегчает вычисление длины окружности и площади круга. Достаточно найти одну из этих величин, тогда по формуле сразу можно получить вторую. При этом подтверждается наше предположение из п. 1: там мы нашли, что С = тгД где D — диаметр, т. е. D = 2г, и допустили, что множитель k в формуле С = kr2 равен тс. Так оно и есть в действительности:
