Старое и новое о круге - Литцман В.
Скачать (прямая ссылка):
Подобно этому из прямоугольного треугольника Bi(Pb)B2 имеем:
р {pkf=pb1 ¦ рв2,
что и доказывает теорему о хордах, пересекающихся внутри круга
Упражнение 30. Докажите эту теорему, основываясь на подобии треугольников AiB?P и BiA2P1 которое вытекает из теоремы о вписанном угле (рис. 40).
2. Инварианты. В теореме о вписанном угле утверждается, что величина вписанного угла не зависит от положения его вершины на окружности. Этим и выражается некоторое инвариантное свойство. То, что сумма углов треугольника равна двум прямым или что сумма противоположных углов вписанного четырехугольника
1) Идея этого доказательства принадлежит Е. Салковскому,
34
равна двум прямым, также являются инвариантными свойствами. В теореме о хордах мы также имеем дело с инвариантом, а именно, с произведением длин отрезков хорд или, на языке геометрии, с площадью прямоугольника, построенного на отрезках любой из этих хорд. Такой прямоугольник можно построить, приняв за его стороны отрезки любой из хорд, проходящих через фиксированную точку Р. Однако эту хорду можно выбрать и специальным образом. Здесь возможны два пути. Во-первых, можно рассматривать диаметр, проходящий через выбранную точку P1 во-вторых, перпендикулярную к нему хорду, также проходящую через эту точку. Заметим, что отрезки такой хорды будут равны, и прямоугольник в этом случае превратится в квадрат.
Рассматривая такие две специальные хорды, а именно, диаметр, распадающийся на отрезки PAx и PA2, и перпендикулярную к нему хорду, распадающуюся на две равные полухорды, можно получить предложение о квадрате высоты PB2 — PAx-PA2 как частный случай теоремы о пересекающихся хордах. Хотя при выводе этой теоремы предположение о высоте уже было нами использовано, но по существу теорема от него не зависит.
3. Теорема о секущих. В предыдущем пункте мы предполагали, что точка пересечения P лежит внутри круга; как будет обстоять дело, когда она окажется извне? BxB2 превращаются в
Рис. 4L
В этом случае хорды AxA2 и секущие, проходящие через указанную точку (рис.ч 41). Доказательства, которые мы приведем ниже, опираются на теорию подобия (см. упражнение 30). Треугольники PAxB2 и PBxA2 подобны, в силу чего
или
PA1: PB2 = PB1: PA2 PA1 ¦ PA2 = PB1 ¦ РВ2\
3*
35
последнее равенство записывается точно так же, как и равенство, выведенное в п. 1. Запомним, что отрезки, встречающиеся в этом равенстве, отсчитываются от точки Р. Итак, соотношение между отрезками, выведенное нами в п. 1, справедливо, независимо от того, является ли точка P внутренней или внешней; оно имеет силу как для двух, так и для любого числа прямых, проходящих через точку Р, иначе говоря для целого пучка. Поэтому мы можем выразить наши результаты следующим образом.
Если прямые некоторого пучка пересекают окружность, то произведение отрезков каждой из этих прямых, отсчитываемых от точки пересечения, инвариантно.
Этот инвариант называют степенью точки P относительно окружности. Если приписывать отрезкам соответствующие знаки, то в случае, когда точка лежит Ену-три окружности, эти знаки будут различными, так как отрезки имеют противоположное направление, а в случае, когда точка лежит внутри — одинаковыми, так как отрезки будут одинаково направленными. Таким образом, степень внутренней точки круга —¦ отрицательна, а внешней — положительна.
4. Теорема о секущей и касательной. Рассматривая касательную как предельное положение секущей, когда точки ее пересечения с окружностью А\ и A2 (рис. 42) сливаются в одну точку Л, мы чисто формальным путем приходим к равенству
PA2 = PB1 • PB2.
Рис. 42.
Переписав этот результат в виде пропорции
PB1 : PA = PA: PB2,
выразим его следующим образом. Если из какой-нибудь точки вне окружности к ней проведена касательная, то
36
отрезок этой касательной есть средняя пропорциональная между отрезками любой секущей, проходящей через эту точку.
5- Золотое сечение- Пусть задан некоторый отрезок ВС. Восставим в одном из его концов С перпендикуляр AC = A-?C и из точки А как из центра опишем окружность радиусом АС; эта окружность будет касаться отрезка ВС в точке С. Обозначим точки пересечения секущей AB с окружностью через D и Е; тогда DE « = ВС (рис. 43). Применив к полученной фигуре теорему о секущей и касательной, мы получим
BD BE = ВС2; а так как ВС = DjE",
то
BD BE = DE2
или
BD: DE = DE: BE
Следовательно, отрезок BE разделился на такие две части, что большая из них есть средняя пропорциональная между меньшей и всем отрезком.
Отрезок BE, обладающий таким свойством, мы получили в результате некоторого построения. Как же разделить указанным выше способом отрезок, заданный наперед? Обозначим его снова через ВС. Очевидно, желаемая цель сразу будет достигнута, если мы перенесем на отрезок ВС найденное отношение BD : DE, пользуясь, например, теоремой о сторонах угла, пересеченного параллельными прямыми. Для этого соединим CzE, проведем из D прямую, параллельную СЕ, которая и разделит ВС в требуемом отношении.
