Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Линдон Р. -> "Комбинаторная теория групп" -> 82

Комбинаторная теория групп - Линдон Р.

Линдон Р., Шупп П. Комбинаторная теория групп. Под редакцией Ремесленникова В.Н. — М.: Мир, 1980. — 447 c.
Скачать (прямая ссылка): kombinatornteor1980.djvu
Предыдущая << 1 .. 76 77 78 79 80 81 < 82 > 83 84 85 86 87 88 .. 202 >> Следующая

что у pi, причем pi идет из вершины 1 в вершину да, то из определения следует, что 1«да. ?
в. /^-группы. Продолжение
Мы собираемся теперь установить некоторые хорошо известные утверждения о фуксовых группах с помощью методов, базирующихся в основном на комплексах Кэли. Здесь мы избираем промежуточный способ между использованием классических метрических и аналитических соображений и совсем негеометрическим методом Хора, Карраса и Солитэра [1971, 1972]. Из обоих этих источников мы многое позаимствовали. Для некоторых целей кажется предпочтительнее рассматривать не комплекс Кэли, а дуальный
184 Гл. III. Геометрические методы
комплекс, взятый из обычного аналитического подхода. Его мы будем называть фуксовым комплексом. Однако поначалу в нем потребности не возникает. Книга Цишанга, Фогта и Колдьюи по-прежнему существенно используется.
Назовем комплекс Кэли C(X; R) строго планарным, если он пленарный, но не сферический, т. е. если он планарный и бесконечный.
Предложение 6.1. Нетривиальный автоморфизм строго планар-ного комплекса С не имеет неподвижных точек и геометрических ребер; если он обладает инвариантным непустым конечным объединением граней, то оставляет на месте ровно одну грань.
? Рассмотрим группу G=(X; R) с планарным комплексом Кэли C=C(X; R). Мы видели, что все автоморфизмы комплекса С задаются с помощью левых умножений на элементы из G. Пусть а — автоморфизм, определяемый левым умножением на элемент g=?\ из G. Тогда а не может оставлять неподвижной какую-то вершину п, ибо иначе gh=h. Если бы неподвижным оставалось геометрическое ребро {е, е~1}, то, поскольку его конечные точки не остаются на месте, они должны переставляться, а значит, переставлялись бы ребра е и е-1, что невозможно, ибо они имеют" противоположные метки. Отсюда мы также заключаем, что а не может оставлять на месте простую дугу, так как в этом случае оставались бы на месте или средняя вершина или среднее ребро этой дуги.
Предположим теперь, что а оставляет на месте некоторое конечное объединение граней Е. Поскольку а переставляет конечное множество вершин в Е, некоторая степень автоморфизма а должна оставлять на месте одну из них. Как и выше, отсюда следует, что g имеет конечный порядок п>1. Выберем теперь некоторый конечный связный подкомплекс S, содержащий E и аЕ. Тогда объединение E' всех g'S для /=0, 1, ..., п—1 конечно, связно и инвариантно относительно а. Если Е"— объединение E' и конечных компонент его дополнения, то Е" конечен, связен, односвязен и инвариантен относительно а.
Упрощая обозначения, можем считать, что комбинаторный круг E инвариантен относительно а. Мы покажем индукцией по числу граней в Е, что а оставляет на месте единственную грань в Е. Если в E только одна грань, то утверждение тривиально. Если бы в E входило ровно две грани, то автоморфизм а должен был бы оставлять на месте геометрическое ребро, разделяющее их, что, как мы видели, невозможно. Тогда можно предположить, что в E есть по крайней мере три грани. Легко видеть далее, что должна существовать такая грань DbE, что часть границы dD, лежащая на границе множества Е, является простой дугой. Поскольку автоморфизм а не может оставлять на месте эту дугу, то он не может рставлять на месте и D. и то же самое относится и к любой его не-
б. F-группы. Продолжение
185
тривиальной степени. Поэтому a'D —это п различных граней, каждая из которых пересекается с дЕ по некоторой простой дуге. Если oJD следует за D при обходе дЕ, то ос' обязательно имеет порядок п, а значит, порождает ту же группу, что и ос. После замены ос на ос' можем считать, что D, aD, .. ., a"-1D расположены в циклическом порядке вдоль дЕ. Если a'D не пересекаются, то E'=E—Ua1D опять является кругом, инвариантным относительно а, и утверждение выводится по индукции. Легко видеть, что если D пересекает некоторую грань a'D, то грань D должна пересекать aD и oc-1D. Более того, если бы грань D пересекала какую-то alD, кроме aD и а-1!), то r\a'D было бы точкой, неподвижной относительно а. Таким образом, можно предполагать, что D пересекает aD, oc-1D, но не другие a'D.
При п=2 пусть V — дополнение к объединению внутренностей граней D я aD, a V0 — компонента в VV[E, содержащая D(]aD. Отметим, что V0 есть цепь простых дуг и кругов, а а переворачивает эту цепь. Однако автоморфизм а не может оставлять инвариантной некоторую простую дугу; более того, он не может переставить два соседних круга, ибо иначе он оставлял бы неподвижной их общую точку. Поэтому некоторый круг в V0 остается на месте и заключение получается по индукции.
Пусть п>2 и D'— объединение грани D с замыканиями всех ограниченных компонент дополнения к D \]aD. Тогда D' flaD'=o, где а — это или точка p=q на дЕ, или простая дуга из точки р, лежащей на дЕ, во внутреннюю точку q круга Е. Теперь замечаем, что aqФq, a dD' состоит из о, а~1а, дуги на дЕ от а-1р к р и дуги т' от Ot-1O к q. Таким образом, Ucc't есть простая замкнутая кривая, инвариантная относительно а, которая поэтому ограничивает меньший круг E' в круге Е, причем E' инвариантен относительно а. Утверждение опять же получается по индукции.
Предыдущая << 1 .. 76 77 78 79 80 81 < 82 > 83 84 85 86 87 88 .. 202 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed