Комбинаторная теория групп - Линдон Р.
Скачать (прямая ссылка):
Под автоморфизмом а комплекса Кэли мы понимаем автоморфизм двумерного комплекса С, сохраняющий метки: для каждого ребра е выполняется равенство (еос)ф=ар. Ясно, что у комплекса С те же самые автоморфизмы, что и у комплекса С1. Следующее утверждение является просто переформулировкой того, что централизатор правого регулярного представления в полной симметрической группе на множестве элементов из G есть левое регулярное представление.
Предложение 4.1. Автоморфизмы комплекса C(X; R)—это в точности отображения, индуцированные левыми сдвигами на элементы h из G:
g^hg, {g, y)>-^{hg> У), (g, r)>-±(hg, г). ?
Тем самым получено важное следствие: комплекс С однороден в том смысле, что группа его автоморфизмов транзитивна на множестве вершин. Из этого утверждения также следует, что не существует нетривиального автоморфизма, оставляющего на месте вершину или ребро.
Справедливость следующего утверждения следует, по существу, из самой конструкции.
Предложение 4.2. Комплекс C(X; R) односвязен, т.е. п(C(X; Я)) = 1.
? Пусть р — петля с началом в v. Нужно показать, что р~1. Поскольку рф Q N, a N есть нормальное замыкание множества R, то рф=Д ... /„, где I1=U1SiUf1 для некоторых U1QF и SiQRuR'1. Но каждое слово /г является меткой петли P1=V1I1Vj1, где v1 с меткой U1 идет от у к ?>(«;ф), a tt — граничная метка с началом в v(uty) грани (и(«гф), S1). Так как гг~1, р*~1, а также p~pi ... рп» причем pi — 1 для всех і, то получаем р~1. ?
Следующее теперь очевидно,
176
Гл. III. Геометрические методы
Предложение 4.3. Комплекс K(X; R) есть факторком-плекс комплекса C(X; R) по группе его автоморфизмов х). ?
5. Планарные комплексы Кэли
В начале настоящего параграфа наше изложение непосредственно основано на идеях Хора, Карраса и Солитэра [1971, 1972]. Их цель была несколько иной — доказать ряд важных теорем, не прибегая даже к самой элементарной геометрии и топологии. Мы быстро выходим из таких рамок, возвращаясь к подходу в духе Цишанга, Фогта и Колдьюи, но избираем при этом некоторый промежуточный путь, используя впредь ограниченное число отмеченных выше фактов о геометрии двумерных комплексов. Допуская небольшое изменение определения диаграммы Кэли, предложенное уже самим Кэли, мы сможем применить схожие методы к группам изометрий гиперболической плоскости, которые могут содержать отражения — неевклидовым кристаллографическим группам, исследованным Уилки [1966], Макбетом [1967] и Хором (препринт). Поскольку, если не менять определений, неевклидовы кристаллографические группы не попадают в круг рассматриваемых здесь вопросов, то мы отложим их изучение до § 8.
Сосредоточим теперь внимание на вопросе, каковы группы, допускающие такие представления G=(X; R), что соответствующий комплекс Кэли C=C(X; R) вложим в двумерное многообразие. Точный смысл, который нужно придать слову «вложим» в этом контексте, станет ясен из дальнейшего. Назовем такой комплекс (локально) планарным. На самом деле, ввиду того что комплекс С односвязен, если он вообще допускает такое вложение, он вложим в плоскость или сферу, причем в сферу (в локально конечном случае) в точности тогда, когда группа G конечна. Для конечных групп эту задачу решил Машке [1896]; такие группы — это по существу конечные группы изометрий двумерной сферы. Для бесконечных групп ответ также хорошо известен (см., например, Цишанг [1966] и Цишанг, Фогт и Колдьюи [1970]). Это суть фуксовы группы (включая группы с неориентируемым факторпространством) и некоторые свободные произведения циклических групп.
Предположим, что G=(X; R) и комплекс C=C(X; R) вложим в двумерное многообразие M и, более того, что он уже вложен в М. Единственное предположение относительно этого вложения состоит в том, что некоторая окрестность каждой вершины вложима в плоскость. Под геометрической гранью мы будем понимать пару {D, D'1}, т. е. ориентируемую область многообразия вместе с двумя своими ориентациями. Допустим, что в R содержится два различ-
1J Комплекс C(X, R), вообще говоря, не является накрывающим для K(X, R), как ошибочно указано в оригинале (сообщено Р, Линдоном), — Прим, ред,
5. Планарные комплексы Кэли
177
ных сопряженных элемента, скажем r=uv и г'=vu. Тогда для любой вершины X две грани (х, uv) и (хи, vu) должны иметь одну и ту же границу. Поскольку гфг', то это не тот частный случай, который предусмотрен конструкцией комплекса С, и эти две грани различны. Следовательно, имеется две геометрические грани с одинаковой границей, и их объединение есть топологическая сфера, а значит, все многообразие М. Тот же вывод получается, если один из элементов множества R сопряжен с обратным к другому. В обоих случаях одномерный остов комплекса С есть общий граничный цикл, откуда следует, что G является конечной циклической группой и имеет представление G=(x; хт). Таким образом, исключая этот случай, мы можем предполагать, что ни один элемент из R не сопряжен с другим элементом из R или с обратным к такому элементу.
Как и раньше, R* означает множество всех циклических перестановок элементов из R и им обратных, а корень s из элемента гф\ есть единственный такой элемент, что r=sm с максимальным т. Пусть 5 — множество всех корней элементов из R, a S* — множество элементов, сопряженных с элементами из 5 и им обратными. Очевидно, что S* есть множество всех корней элементов из R*.
