Комбинаторная теория групп - Линдон Р.
Скачать (прямая ссылка):
Докажем теперь лемму. Так как г\ Kx несвязно, существует путь р в К, соединяющий и с некоторой вершиной и' из другой компоненты пересечения C]Kx- Поскольку а отображает F на А, существует петля q с началом в v из К, такая, что <7ф = /?ф. Пусть r = q~1p. Тогда г является путем от v к v', причем гф= 1. Представим г в виде r = rxr2...rt, где соседние г{ не лежат в одном Kx- Так как v' Ф v, то г Ф 1 и t^\. Выберем по точке в каждой компоненте пересечения n Kx в качестве «основных точек», причем так, чтобы v и v' оказались среди них. Выберем, далее, для 1 ^і < t путь U1 в из конечной точки пути T1 к основной точке той компоненты пересечения п Kx, которая
СОДерЖИТ ЄЄ. ПуСТЬ S = S1. . .St, ГДЄ S1 = T1M1, S2 = UfV2M2, . . ., S4-1 =
= «rVt-iWt-i, st = ujlirt; очевидно, 5ф = гф=1.
Теперь мы выбросим все S1, которые являются петлями, удовлетворяющими условию 5,-ф= 1, и объединим соседние s,-, лежащие в одном Kx- Тем самым получим произведение s' = s[.. .s't. Осталось убедиться в том, что $'ф = 5ф=1 и что соседние пути s't лежат в разных Kx, а потому соседние элементы S1^ принадлежат различным группам Ax- Повторяем это построение, чтобы получить произведение s" = S1...S/,,, такое, что s'\p=l, соседние s"t(p лежат в разных A^ и ни один из путей s't не является петлей, такой, что s/ф = 1. Кроме того, поскольку s" идет от и к v', t^l. Но в свободном произведении А соотношение (s"t(f).t, • • • (s't»4>) = 1 означает, что некоторый сомножитель s/ф равен 1. Ввиду того что мы исключили все петли, такие, что s'l ф = 1, путь Sl Должен начинаться и кончаться в основных точках различных
компонент из n Kx- Следовательно, s't есть связка, что и требовалось. ?
174
Гл. 111. Геометрические методы
4. Комплексы Кэли
Прежде чем обратиться к точным определениям, сделаем несколько неформальных замечаний. Хорошо известно, что Кэли [1878] показал, что каждая абстрактная группа, удовлетворяющая одной из стандартных систем аксиом, изоморфна группе подстановок. В самом деле, правое регулярное представление А отображает группу G изоморфно на некоторую группу подстановок ее же элементов. Каждому элементу g Q G соответствует подстановка gA: Ai-s>Ag. У нас нет какого-либо указания на то, что Кэли рассматривал подстановки gA как множества упорядоченных пар, однако такой взгляд указывает подход к еще одному из важных открытий Кэли [1878], а именно цветных групп или групповых диаграмм (Gruppenbild).
При взгляде на gA как на множество {(A, Ag); AgG} упорядоченных пар естественно представить его графом с множеством вершин V=G и с (ориентированными) ребрами из А к Ag для каждой упорядоченной пары (А, Ag) в gA. Если же рассматривать несколько различных gA сразу, то легко различать их с помощью раскраски ребер, относящихся к разным gA, в разные цвета. Это, по существу, и есть диаграмма Кэли группы G относительно множества X рассматриваемых элементов g. Эта диаграмма, очевидно, связана в точности тогда, когда X порождает группу G, и мы ничего не потеряем, ограничиваясь этим случаем.
Нам удобно несколько изменить запись и предполагать, что G задана как факторгруппа свободной группы F с базисом X. Удобно также для А ? G и wQF обозначать через Адо произведение в G элемента А и образа слова до. Введем, далее, для каждого A Q G и х Q X ребро из А в Ax и пометим его, но не цветом, а самим элементом х. После добавления обратных ребер это дает диаграмму Кэли, отвечающую одномерному остову комплекса Кэли, который мы сейчас определим точно."
Пусть G=(X; R), где R является множеством циклически приведенных слов в свободной группе F с базисом X. Построим комплекс Кэли C=C(X; R) этого представления. В качестве множества вершин возьмем V=G, в качестве множества ребер выберем GxL (декартово произведение), где L=XuX-1, а множеством граней будет GX(Ru R'1)- Ребро (g, у) для g QG, у QL идет по определению от g к gy; обратным является (gy, у1). Комплекс Кэли оснащается размечающей функцией, которую мы зададим, прежде чем перейти к граням. Каждому ребру e=(g, у) мы сопоставляем метку еу=у. Заметим, что (е-1)ф=(еф)-1. Продолжаем далее функцию ф мультипликативно: пути р =ві ... еп в качестве метки сопоставляем слово рф=(біф) ... (епц>). Таким образом, рф — приведенное слово, если и только если р — приведенный путь. Очевидно, ф индуцирует гомоморфизм из фундаментального группоида я (С1) на F. Для
4. Комплексы Кэли
175
любой вершины V функция ер устанавливает взаимно однозначное соответствие между множеством путей, начинающихся в и, и множеством всех слов. Кроме того, мы иногда будем писать рф для элементов из F и даже для элементов группы G, определенных словом рф. Тогда можно заметить, что если р начинается в v, то его концом будет v (рф); в частности, р является петлей тогда и только тогда, когда рф содержится в нормальном замыкании N множества RbF. Теперь приступим к граням. Для gQG и sQRu R~x грань D определяется обычно границей dD цикла, определенного петлей р с началом g и меткой py=s.
Метка границы клетки D с началом в некоторой точке будет называться граничной меткой. Мы видим, что множество R * граничных меток состоит из всех циклических перестановок приведенных слов из R и обратных к ним.
