Комбинаторная теория групп - Линдон Р.
Скачать (прямая ссылка):
(.) ю-1= w?F.
хе X
Пусть O = (X; R); будем обозначать буквой <р как каноническое отображение из F на G = F/N, так и индуцированное им отображение из ZF на ZG. Запишем G = G/[G, G] и обозначим
3. Исчисление Фокса, матрицы соотношений
143
через ф индуцированное отображение из ZF на ZG. Мы будем использовать одну и ту же букву w для обозначения как некоторого элемента свободной группы F, так и его образов в G и G, если из контекста ясно, об элементе какой группы идет речь. Матрицей Якоби представления называется матрица
с элементами из кольца ZG; обычно бывает удобнее перейти к профакторизованной матрице Якоби J = (drjdxj) ф над коммутативным кольцом ZG.
Как обычно, мы определим детерминантный идеал D1 порядка і матрицы J как идеал кольца ZG1 порожденный всеми минорами г'-го порядка этой матрицы. Легко проверить, что конечная последовательность детерминантных идеалов D1, D2, ... не изменяется преобразованиями Тице, может лишь удаляться или вставляться единичный идеал в качестве D1. Таким образом, по предложению 2.1 нетривиальная часть последовательности D1, D2, ... является инвариантом группы G. Эта теория возникла в случае, когда G является фундаментальной группой дополнения к узлу в 3-пространстве; в этом случае G — бесконечная циклическая группа с порождающим, скажем t, а наивысший отличный от нуля детерминантный идеал является главным идеалом, образующий (со старшим коэффициентом 1) которого есть некоторый многочлен от t, называемый многочленом Александера данного узла.
Дадим краткий очерк связей этих идей с теорией когомологий; более детальное изложение см. у Грюнберга [1970].
Продолжим использование введенных выше обозначений. Тривиальное отображение є: G->-l индуцирует пополняющее отображение є: ZG-»-Z, ядром которого является пополняющий идеал Ко (или фундаментальный идеал) кольца ZG. Легко видеть, что для «= =^fgg Q ZG (Cg Q Z, g Q G) иг равно 2ев» сумме коэффициентов элемента и, и что Ко порожден элементами х—1, xQX. На самом деле из формулы (*) видно, что /C0 порожден элементами X—1 как левый идеал кольца ZG. Если мы рассмотрим ZG как (свободный) левый ZG-модуль M0, то Ко — его подмодуль. Пусть M1 — свободный левый ZG-модуль, базисом которого является множество элементов Ьх, находящихся во взаимно однозначном соответствии с элементами х базиса X; определим отображение di. M1^-M0, полагая di. блгі—*х—1. По построению di отображает M1 на Ко- Нетрудно заметить, что ядро K1 отображения di есть подмодуль модуля Ali, состоящий из всех элементов Ьг=^(дг/дх)ох, где г Q N, причем K1 порожден элементами or, где г QR. Пусть M2 — свободный левый ZG-модуль, базисом которого является множество элементов г, находящихся во взаимно однозначном соответствии с
144
Гл. II. Порождающие и соотношения
элементами г из R; определим отображение d2. /W2-W1Hi, полагая d2: гу-*-Ьг. По построению d2 отображает M2 на K1- Об интерпретации его ядра K2 мы будем говорить позже.
Итак, мы имеем последовательность левых ZG-модулей, которую, разумеется, можно продолжить до бесконечности и получить при этом свободную резольвенту
a3 dt di d9
... — M2 — M1-- M0 -.. Z
в следующем смысле: модули М,-— свободные ZG-модули и последовательность точна, т. е. для каждого і образ отображения di+1 равен ядру отображения dt (в качестве d0 берется є).
По определению Ke = M1ZKi, где базисом для M1 является множество элементов bxj, a K1 порожден элементами or,- = = 2 (дгі/dxj) bxj, где г,- g JR. Таким образом, матрицу Якоби можно рассматривать как матрицу соотношений левого ZG-модуля K0, а / — как матрицу соотношений левого ZG-модуля ZG(?K0-
Можно показать также, что K1=M2IK2=NZ[N, N], где последняя группа естественным образом наделена структурой ZG-модуля. Назовем модуль N=NI[N, N] модулем соотношений данного представления; если G=FIN, то понятно, что он зависит от F и N, но не от выбора множества R. Этот модуль в значительной мере также является инвариантом группы G (см. Линдон [1962]). Точнее, если N1 и N2 — два модуля соотношений, полученных из конечных представлений одной и той же группы G, то существуют два свободных ZG-модуля Pi и P2, таких, что N1Q)P1^N2Q)P2. Очевидно, что N порожден образами элементов г множества R. Грюнберг [1970] показал, что если G — конечная группа и если N1 и N2 — модули соотношений, полученные из конечных представлений, таких, что IX1I = IX2I, то минимальное число порождающих одно и то же как для N1, так и для jV2. Данвуди [1972] показал, что это утверждение может быть неверным для бесконечных групп. Если G — группа трилистника, G= (а2=Ь3), то ясно, что модуль соотношений Ni, связанный с этим представлением, порождается одним элементом; Данвуди указал второе представление G= (X2; R2), в котором IX2I = = \R2\=2, причем ассоциированный модуль соотношений N2 не может быть порожден одним элементом. (Отсюда следует, что N2 не является замыканием одного элемента; для сравнения см. Данвуди и Петровски [1973].) В этом случае, согласно результату Линдона ([ 19507; см. ниже П.5), N1 изоморфен ZG1 свободному ZG-модулю ранга 1; Данвуди доказывает, что /V2@ZG==;jV10ZG^ZG0ZG, так ЧТО Ni проективен; он же показывает, что /Y2 не свободен, а также не
