Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Линдон Р. -> "Комбинаторная теория групп" -> 62

Комбинаторная теория групп - Линдон Р.

Линдон Р., Шупп П. Комбинаторная теория групп. Под редакцией Ремесленникова В.Н. — М.: Мир, 1980. — 447 c.
Скачать (прямая ссылка): kombinatornteor1980.djvu
Предыдущая << 1 .. 56 57 58 59 60 61 < 62 > 63 64 65 66 67 68 .. 202 >> Следующая

Уолл [1961] рассматривает случай, когда G имеет конечную резольвенту, т. е. резольвенту, у которой Mj=O для всех і, больших некоторого п. В этом случае инвариантом группы G является характеристика Эйлера — Пуанкаре x(G)=/0—Д+.,.+ (—!)"/„. Серр
2. Конечные представления 141
[1969, 1971] распространяет это определение на случай групп Я, содержащих подгруппу G конечной когомологической размерности в определенном выше смысле, полагая %(Я) = |Я : G|_1x(G); он замечает, что эта величина также является инвариантом подобной группы Я; им вычислена величина %(Н) для некоторых групп такого типа. Каррас, Петровски и Солитэр [1974] аксиоматизируют характеристическую функцию на классе С групп, инвариантном относительно изоморфизмов, полагая, что если G и Я принадлежат ChG имеет конечный индекс в Я, то %(С) = |Я : GIx(Я). В частности, если С содержит все конечные группы, то x(G) = l/|G| для конечной группы G; более того, если Я и две ее подгруппы конечного индекса G1 и G2 лежат в С, причем G1 и G2 изоморфны, то они должны иметь один и тот же индекс. Характеристическая функция Уолла удовлетворяет еще одной аксиоме: если G1 и G2 лежат в С, в данном случае в классе всех групп конечной когомологической размерности, то свободное произведение G=GX*G2 также лежит в С, причем % (G) = X (G1)+X (G2)—1. Для класса С конечных расширений конечно порожденных групп Столлингс (в печати) обобщает эту формулу и получает р (G1XG2) ==ц. (00+Li(G2)—р. (Л) в случае
А
свободного произведения с конечной объединенной подгруппой Л. Каррас, Петровски и Солитэр находят обобщение результата Стол-лингса, включающее в себя случай свободного произведения с объединенной подгруппой в комбинации с HNN-расширением. Эти результаты связаны с результатами Брауна [1974], Чизуэлла [1976], Вердье [1973], а также с формулой Римана — Гурвица (см. 111.7) и ее обобщением, принадлежащим Хору, Каррасу и Солитэру (в печати) и относящимся к случаю неевклидовых кристаллографических групп.
Милнор [1963] ввел понятие функции роста конечно порожденной группы. Это понятие уже изучалось в частных случаях Краузе [1953] и Сварком [1955]. Пусть X — конечное множество порождающих группы G, т. е. G=FIN, где F — свободная группа с базисом X. Для каждого натурального числа п пусть у(п) — число элементов группы G, которые могут быть представлены элементами w из F, такими, что |шК«. Если выбрано второе конечное множество X' порождающих группы G, то функции у и у' эквивалентны в следующем смысле: существуют натуральные числа k и k', такие, что для всех п имеем у(п)^у' (kn) и у' (n)^.y(k'n). Милнор спрашивает, верно ли, что любая функция у всегда эквивалентна в этом смысле многочлену от п или экспоненциальной функции от п. Он предположил, что у растет как многочлен в том и только том случае, когда G содержит нильпотентную подгруппу конечного индекса. Во второй статье [1968] он замечает, что величина у(п)1/п всегда сходится к некоторому числу а из интервала 1^а<оо и что у экспоненциальна, когда а>1. Он устанавливает связь, возникшую при
142
Гл. //. Порождающие и соотношения
рассмотрении этих идей, между кривизной риманова многообразия и степенью роста его фундаментальной группы. Он приводит некоторые примеры и связывает общее понятие с результатами Ke-стена [1959] о собственных значениях случайных блужданий на группе. Вулф [1968] продолжает изучать связи между кривизной и степенью роста и, кроме того, показывает, что если группа G обладает конечно порожденной нильпотентной подгруппой конечного индекса, то она растет как многочлен, а также, что если в полициклической группе G нет конечно порожденной нильпотентной подгруппы конечного индекса, то ее рост экспоненциален. Мил-нор [1968] показывает, что неполициклическая разрешимая группа имеет экспоненциальный рост, доказывая тем самым свою гипотезу для всех конечно порожденных разрешимых групп.
Жюстен [1971] показал, что если функция роста конечно порожденной группы или подгруппы удовлетворяет условию y(n)<in(n+ +3)/2, то эта функция удовлетворяет условию y(n)<Ckn для некоторого k. Адян [1975] показал, что свободная бернсайдовская группа В (т, п) экспоненты пет порождающими имеет экспоненциальный рост. Дальнейшие результаты о функции роста см. в работах Басса [1973].
3. Исчисление Фокса, матрицы соотношений, связи с когомологиями
Мы уже отмечали, что благодаря основной теореме о конечно порожденных абелевых группах структура такой группы может быть восстановлена по матрице соотношений, связанной с каким-либо представлением этой группы как абелевой группы с конечным числом порождающих и определяющих соотношений. Аналогичные методы не столь легко приложимы к неабелевым группам, а результаты, получаемые с их помощью, не так полны. Тем не менее один метод такого рода, введенный Фоксом, был с успехом использован при изучении групп узлов и зацеплений. Детальное рассмотрение проведено в книгах Кроуэлла и Фокса [1967] и Бирман [1974]. Мы дадим обозрение некоторых основных идей.
Пусть F — свободная группа с базисом X и ZF — групповое кольцо группы F над кольцом целых чисел Z. Для каждого х ? X свободная производная д/дх: ZF-+ZF была описана в 1.10; эти производные характеризуются тем, что д/дх — производная и ду/дх= =o*u (дельта Кронекера), у?Х, либо тем, что верна формула
Предыдущая << 1 .. 56 57 58 59 60 61 < 62 > 63 64 65 66 67 68 .. 202 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed