Комбинаторная теория групп - Линдон Р.
Скачать (прямая ссылка):
2. Конечные представления
139
ные идеи, используемые при этом, можно найти в работе Б. Неймана и X. Нейман [1951].
Серр [1974] называет группу когерентной, если каждая ее конечно порожденная подгруппа конечно представлена. Дж. Скотт [1973] показал, что фундаментальная группа любого замкнутого 3-многообразия является когерентной. Серр задает вопрос о когерентности групп SL (3, Z), GL (л, Q), SL (п, F[t]), SL (п, Fit, t'1]); здесь F — конечное поле, FIt] — кольцо многочленов над F от переменной t, a F[t, t~x] — кольцо «L-многочленов» (многочлены Лорана) вида t~kp(t), где p(t) — обычный многочлен. Заметим, что, как известно, группы GL(m, q) и SL(n, Z) не являются когерентными.
Некоторые группы обладают представлением G= (X; R), таким, что N инвариантна относительно некоторой подгруппы группы Aut(F), индуцированной подгруппой симметрической группы P множества X; в этом случае можно предполагать, что P оставляет R на месте. В II.6 мы рассмотрим случай X=(X1; і GZ), причем P — группа сдвигов Xi \—> xi+p. Понятно, что симметрическая группа, знакопеременная группа и некоторые другие группы, возникающие в геометрических ситуациях, естественным образом допускают представления, являющиеся симметрическими в этом смысле. Случай, когда R состоит из одной орбиты, был рассмотрен Эмерсоном [1969]. Если дано такое симметрическое представление, то ясно, что P действует как группа автоморфизмов группы G. Если P имеет представление P= (Y; Q), то понятно, что расщепляемое расширение H группы G при помощи P имеет представление H= (Y U X1; Q и Ri), где X1 — множество представителей орбит множества X относительно действия группы Р, a R1 получается в результате выражения представителей орбит множества R относительно P через элементы из X1 и их сопряженные под действием элементов из Р. Таким образом, если G= (xlt ..., Xn; ru ..., гп) и перестановка b: Xi t—*- X1+1 (индексы берутся по модулю п) переводит rj в r/+i, то H обладает представлением H= (хъ Ь; b"=l, w(xu fr)=l), где w — некоторое слово, сумма показателей которого относительно b равна 0.
Конвей [1965, 1967] ввел семейство групп Fn, обладающих сбалансированными представлениями вида
•^n™1 (л»і> • • •i хп\ X1X2=X^, ¦ ¦ •, Xn^iXn=X1, XnX1=Xj);
мы называем их группами Фибоначчи. Нетрудно показать, что F1, ..., ..., Fb имеют порядки 1,1, 8, 5, 11. Кокстер и Мендельсон (см. Конвей [1967]) показали, что группа F6 бесконечна, а Мендельсон показал, что F1 бесконечна. Конвей [1967] доказал, что Fn бесконечна для достаточно больших п, а Линдон (не опубликовано) средствами теории малых сокращений установил, что Fn бесконечна для всех п^\\. Джонсон [1974] ввел более общий класс групп ^,,„=(*!.....хп\ X1Xf+I ... *,+,_!=*,+,, і mod л).
140
Гл. II. Порождающие и соотношения
Имеем F2>n=Fn. Он показал, что P314 бесконечна, a Fti 5 имеет порядок 22; в то же время Кемпбелл (см. Джонсон [1974]) показал, что F8i „ имеет порядок 23337, и нашел ее силовские подгруппы. Дальнейшее изучение этих групп см. в работе Джонсона [1976].
Минимальная мощность множества R с нормальным замыканием N для свободной группы G= (X; R) при данном X является, вероятно, не слишком четким способом измерения величины удаления группы G от свободной группы F с базисом X, поскольку существуют различные способы определения зависимости или частичной сводимости множества R соотношений. Обсуждение одного из аспектов этого вопроса в духе теоремы о свободе и близких к ней вопросов дано в работе Линдона [1962]. Другой, при этом весьма плодотворный способ определения меры независимости множества соотношений дается теорией малых сокращений; см. гл. V. Третий способ выяснения зависимости соотношений состоит в рассмотрении числа существенно различных путей, которыми может быть получена данная последовательность соотношений; точная форма этой проблемы, рассматриваемая в II.3, ведет к понятию когомологической размерности. Мы вернемся к одному из аспектов данного подхода в следующем абзаце, а через абзац будет рассмотрен еще один способ подхода к этой проблеме. Взаимоотношения между этими подходами в настоящее время еще далеко не ясны.
Суон [1965] рассмотрел обобщение понятия дефицита представления. Предположим, что группа G имеет свободную резольвенту (см. 11.3)
— Mn M1- M0-Z-O,
в которой M1 — свободные ZG-модули конечных рангов ft. Он рассматривает знакопеременную сумму U71=/,,—/і+...+ (—!)"/„. В частности, если G имеет конечное представление G= (X; R), то можно положить /"о=1, /і=|Х|, f2=\R\, откуда Po=I, Pi=I-IXI и ^2=I—]X\ + \R) = l—d, где d — дефицит представления. Далее, fs — мера сферичности представления (см. III.11), т. е. мера зависимости между соотношениями, и в этом смысле [X3=I—d+/3 дает поправку первого порядка d'=d—/3 к предыдущему определению дефицита. Суон получает обширную информацию о связях между возможными значениями этих инвариантов резольвенты, однако, к сожалению, эти результаты близки к завершенности лишь в предположении о конечности группы G. Заметим, что именно в этой статье можно найти упомянутый выше контрпример к гипотезе Неймана, т. е. указана группа G=(X; R), для которой 1Р1<|Х|, но мультипликатор H2(G, Z) равен 0.
