Комбинаторная теория групп - Линдон Р.
Скачать (прямая ссылка):
137
ляется замыканием менее чем m=\R\ элементов, однако при этом существует представление G= (X (J {х}; R'), где х^Х, элементы из X представляют одни и те же элементы из G в обоих представлениях и \R'\=m.
Магнус 11939] доказал, что если группа G имеет конечное представление G= (X; R), такое, что d=\X\—\R\=r(0), то это свободная группа; Штаммбах [1967] нашел новое доказательство.
Дальнейшее изучение дефицита производилось в работах Грюнберга [1970] и Уомсли [1970, 1973].
Хигман, Б. Нейман и X. Нейман [1949] показали, что каждая группа G с конечным представлением G= (X; R) может быть вложена в группу G'= (X'; R'), такую, что |Х|=2 и |/?'| = |#|.
Если G=FIN, где F — свободная группа, то, вообще говоря, не любой автоморфизм группы F оставляет N на месте. Те же, что оставляют, индуцируют автоморфизмы группы G, однако, вообще говоря, не любой автоморфизм группы G индуцируется некоторым автоморфизмом группы F. Розенбергер [1972] называет представление G= (X; R) квазисвободным, если Aut (F) естественным образом отображается на Aut (G), т. е. если любой автоморфизм группы F оставляет N на месте и любой автоморфизм группы G индуцируется некоторым автоморфизмом группы F. Он показывает, что если G не является свободной группой, то представление G= (X; г) этой группы с одним определяющим соотношением квазисвободно в том и только том случае, когда оно имеет вид G= (х; хп), причем п=2, 3, 4 или 6, либо G= (х, у; [х, у]") для некоторого я===0. Он замечает, что обычное представление четверной группы G= (Xі, уг, (ху)2) является квазисвободным. Он выводит также из результатов Андреадакиса, Бахмута и Чина (см. 1.4) квазисвободность естественных представлений групп FIF2, FIF3 и F/F"(F')p, где р — простое число; в то же время естественные представления для FIF" и FIFn, п^З, где F — свободная группа ранга не менее 2, не являются квазисвободными.
Розенбергер [1972] называет представление почти квазисвободным, если любой автоморфизм группы G индуцируется некоторым автоморфизмом группы F. Нильсен [1918] показал, что представление G=(Ia1, O1]. ..lag, bg]) или G= (с\, .... с|) фундаментальной группы G замкнутого 2-многообразия является почти квазисвободным. Розенбергер [1972] показал, что если соотношение Q в первом (ориентируемом) случае заменить на Qk, то вывод сохраняется; см. также Пужицки [1972]. Цишанг [1970] показывает, что в этом случае любое представление G= (X; г) группы G с одним определяющим соотношением может быть приведено к данному каноническому виду некоторым автоморфизмом, индуцированным автоморфизмом группы F; если \X\=2g, то при X'= (аи ..., ag, bl3 ..., ..., be) существует автоморфизм группы F, переводящий X в X' и г в Q. Печиньски [1973] устанавливает тот же самый результат
138 Гл. II. Порождающие и соотношения_
во втором (неориентируемом) случае. Цишанг получает аналогичный результат для фуксовых групп G= (xf<.....х%р, x1 ... xpQ)
в предположении, что |XK2g+p. Розенбергер [1974] доказывает аналогичный результат в случае, когда р>0, для представлений с 2g-fp—1 порождающими. Из него следует, что все возникающие при этом представления квазисвободны.
Несмотря на наличие теоремы Магнуса (II.5.8) о том, что г± и г2 имеют одно и то же нормальное замыкание в группе F с базисом X в том и только том случае, когда гх сопряжено с г2 или с T2"1, неверно, что два представления G1= (X; T1) и G2= (X; г2) определяют изоморфные группы в том и только том случае, когда существует автоморфизм группы F с базисом X, переводящий гх в г2 или T21. Контрпримеры были независимо найдены Маккулом и Петровски [1971] и Цишангом [1970]. Маккул и Петровски рассматривают семейство групп, впервые появившееся у Шрайера [1924], именно групп вида Gktl=(x, у; хк=у1), k, />0. Коротким остроумным вычислением с' использованием преобразований Тице они показывают, что если l=pt+2 для некоторых р>0 и t>l, то Gktl также обладает представлением Gfti t = (х, у; у= (хку~г)р). Далее любое преобразование Уайтхеда, за исключением перестановок (см. 1.4), увеличивает длину как гх=хку~1, так и г2=у(хку~*)р; по предложению 1.4.17 отсюда следует, что никакой автоморфизм свободной группы F с базисом х, у не может перевести гх в T2 или ГІГ1-
В связи с этими фактами см. Мецлер (препринт); ср. также с приведенным ниже предложением 5.8.
Прайд [1974] показал, что представление G= (a, b, t; ы"=1, /-1аг=йп), где tC^-2, е=±1, а и — некоторое слово, содержащее и а и ft с положительной экспонентой, является квазисвободным. Это включает в себя случай групп G= (la, Л"), гС^2, изученных Пужицки и Розенбергером, а также групп G= ((t^aHa-3)"), где 11^2. Для /г=1 G является нехопфовой группой Баумслага — Солитэра. Браннер [1974] изучал эти группы при п=1. Он заметил, что для всех т^О пара а2т, Ь порождает G, что определяет отображение фт из F, свободной группы с базисом х, у, на G, переводящее x в а2т и у в Ь, причем его ядро — некоторая подгруппа Nm. Он показывает, что если тфт', то не существует автоморфизма а группы F, такого, что фт—афОТ'. Для каждого т подгруппа Nn является нормальным замыканием двух элементов х~х[х, у2] и [х, у~тхут\\ при т=1 второй элемент — лишний, а при т=2, как показал Хигман (см. выше), N2 не является нормальным замыканием одного элемента. Данвуди и Петровски [1973] показали, что группа трилистника G= (а2=Ь3) имеет бесконечное число пар порождающих, неэквивалентных в предыдущем смысле, и что по меньшей мере относительно одной из этих пар G не может быть определена одним определяющим соотношением. Некоторые основ-
