Комбинаторная теория групп - Линдон Р.
Скачать (прямая ссылка):
Ранги групп фуксова типа, нециклических групп G=(O1,..., ag, Ьи..., bg, Xi,..., хр; х?'i,..., х%р, X1... XpQ), где Q=Ia1, bj... ... [ag, bg\, также определены. Если р=0, то из рассмотрения факторгруппы по коммутанту очевидно, что r(G)=2g. Если р>0, то понятно, что один из порождающих может быть удален преобразованиями Тице, откуда r(G)^2g +р—1; Цишанг [I970I показал, что равенство имеет место при g>0, а также и в большинстве случаев, когда g=0. Берне, Каррас, Петровски и Пужицки (не опубликовано) заметили, что если g=0, р четно иZn1 = .. .=тр.1=2, а тр нечетно, то г(G)=p—2. Печиньски, Розенбергером и Цишангом [1975] было показано, что это единственные исключения: во всех остальных случаях при g=0 имеем r(G)=p—1.
Значительное внимание было уделено нахождению компактных
2. Конечные представления
133
представлений для классических линейных групп над конечными полями и специальными кольцами; см. Бер и Меннике [1968]; Кне-зер [1964]; Меннике [1967]; Цассенхауз [1969]; Санди [19721.
Для данного конечного множества S порождающих группы G можно рассматривать всевозможные представления G=(X; R), в которых X находится во взаимно однозначном соответствии с S; при этом естественно спросить о наименьшей величине для т=|^|. Если (X; R) = I, то, факторизуя F по коммутанту, можно заметить, что обязательно tri^n, причем при R=X это значение т=п достигается. Эндрюз и Кертис [1965, 1966] предположили, что если тривиальная группа имеет сбалансированное представление, т. е. (X; R) = I, т=п конечны, то R можно перевести в X последовательностью преобразований, каждое из которых является либо элементарным нильсеновским преобразованием, либо состоит в замене некоторого элемента сопряженным. Эта проблема широко изучалась Рапапорт [1964, 1968, 1968, 1973]. Рапапорт [1973] отмечает связанную с упомянутой проблему Вальдхаузена: если G=(X; R) — конечное представление, в котором n>r(G), верно ли, что нормальное замыкание для RbF обязательно содержит некоторый базисный элемент группы F.
По аналогии с коммутативным случаем возникла следующая проблема. Для данного конечного представления G=(X; R) группы G, в котором т=\R\^.n=\X\, определим дефицит d равенством d=n—т. Верно ли, что некоторое подмножество X0 мощности d из X отображается в G на базис некоторой свободной подгруппы? х) Если d=0, то утверждение тривиально. При d=\ факторгруппа GI[G, Gl является конечно порожденной бесконечной абелевой группой, поэтому образ некоторого х из X обязан иметь бесконечный порядок, т. е. составлять базис для свободной группы ранга 1. Тривиально утверждение и в другом крайнем случае, когда d=n, т. е. когда R пусто. Если d=n— 1, т. е. когда R состоит из одного определяющего соотношения, заключение вытекает из теоремы о свободе (см. ниже предложение 5.1). Первый случай, когда вопрос остается открытым,— случай группы G= (xlt х2, х3, xt; ги гг); верно ли, что образы некоторых хг и Xj порождают в G свободную подгруппу ранга 2? Один результат Штаммбаха [19681 дает достаточные условия для положительного ответа в общем случае.
Внимательно изучался вопрос о связи между п=\Х\ и m=\R[ в случае, когда G=(X; R) — конечная группа. Понятно, что обязательно т^п, причем каждая циклическая группа имеет представление, в котором т=п=\. Представление называется минимальным, если п — наименьшее возможное, т. е. /г=гапк (G). Фрухт [1955] показал, что среди абелевых групп лишь циклические обладают минимальным представлением, в котором т=п. Б. Нейман
1> Верно, см. Ррмановский [1977*].— Прим. ред.
134
Гл. П. Порождающие и соотношения
[1956] (см. также Кокстер, Мозер [1965, стр. 11]) нашел минимальное представление для диэдральных групп порядка 2k в случае, когда число k нечетно; И. Джоунз [19691 показывает, что в случае четного k необходимы три соотношения. Б. Нейман [1956] построил семейство конечных групп, обладающих минимальными представлениями, для которых т=п=2. Шур [1904] показал, что мультипликатор конечной группы с т=п тривиален, а Б. Нейман [1956] выдвинул гипотезу, что верно и обратное; эта гипотеза была опровергнута Суо-ном в работе [1965]. Меннике [1959] построил семейство конечных групп, обладающих минимальными представлениями с W=^=S-HyCTbG=(X1, х2,х3;гі, ritr3), где ri=xi+1xix,+1X{lt+1\ причем индексы берутся по модулю 3. Группа G тривиальна при Z=—1, +1 и бесконечна при Z=—2, 0; в остальных случаях G конечна и имеет ранг 3. Макдональд [1962] продемонстрировал класс конечных групп вида G= (a, b\ с~хас=а, C1Oc=O), где с=[а, Ь], т. е. для которых m=n=2; Уомсли [1974] показал, что для такой группы G и нечетного простого числа р максимальная р-фактор-группа группы G — конечная р-группа с т=п^2. Другие группы с т=п=2 были построены Шенкманом [1967]. Меннике [1959] предположил, что для минимального представления конечной группы не может быть m=n=3, причем должно выполняться т^п(п—1)/2. Однако Кострикин в 1964 г. (см. Хупперт [1967, стр. 402]) для п, равного любой степени числа 2, построил р-группу, допускающую минимальное представление с п порождающими и т= (Зл2+ +6/г)/8 соотношениями; позже [1969] он улучшил этот результат до т= (п2+3п—1)/3. Он заметил (не опубликовано), что если определить у как минимум чисел т/пг для минимальных представлений конечных групп, то по приведенному результату у<!1/3, в то время как по результату Голода и Шафаревича [1964] имеем v^l/41). (Заметим, однако, что Голод и Шафаревич определяют т как число определяющих соотношений группы G как про-р-группы, т. е. как размерность пространства #a(G, ZIpZ).) Фактически Голод и Шафаревич показали, что для конечной группы т^(п—1)2/4; Акагава [1968] улучшает этот результат для конечных р-групп, показав, что в этом случае пг^Ур/(р-\~1)п(п—1)/2.
