Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Линдон Р. -> "Комбинаторная теория групп" -> 54

Комбинаторная теория групп - Линдон Р.

Линдон Р., Шупп П. Комбинаторная теория групп. Под редакцией Ремесленникова В.Н. — М.: Мир, 1980. — 447 c.
Скачать (прямая ссылка): kombinatornteor1980.djvu
Предыдущая << 1 .. 48 49 50 51 52 53 < 54 > 55 56 57 58 59 60 .. 202 >> Следующая

Iw1I,..., IUtKIu1..
либо для некоторых h, k, 1^лК&^, uh,..., Un — сопряженные элементов из Ну, и для некоторого i, гКК*.
К ••• и*I <1"/1- ?
Непосредственным следствием приведенного построения является результат Смита [1976]. Если ср — гомоморфизм из конечно порожденной свободной группы F в G, то F — свободное произведение
групп F0, F1.....Fn, где F0 отображается при ср в G инъективно
и для 1^t группа F1-Cp лежит в некотором #?, \iQl,pQG.
Розенбергер [1974], анализируя результат Цишанга, показывает на примерах, что ни одна из возможностей, появляющихся в заключении упомянутого выше варианта теоремы Цишанга, не может быть обойдена. Он же иллюстрирует примерами невыполнимость для свободных произведений с объединенной подгруппой теоремы Грушко — Неймана (см. III.3.7). Точнее, он показывает, что ни одно из приводимых ниже двух утверждений, вообще говоря, не обязано быть справедливым для G=H1^H2.
А
(I) Если конечное множество X порождает G, то оно может быть переведено нильсеновскими преобразованиями в множество Y = H1UH2.
(I I) Rank (G) > Rank (H1) + Rank (H3) - Rank (A).
124
Гл. I. Свободные группы и их подгруппы
Как он замечает, Маккул и Петровски [1971] установили справедливость утверждения (I) в случае, когда А нормальна в G. В качестве контрпримеров к I и II Розенбергер берет две группы из бесконечного семейства фуксовых групп, найденного Бернсом, Каррасом, Петровски и Пужицки (неопубликовано) при построении (на самом деле единственных) контрпримеров к утверждению Цишанга о рангах фуксовых групп (см.ниже III.7). Эти группы имеют вид
G = (X1 , ..., хп, Xi = ... = xn_i = Xn4 = 1, Xx... Xn = 1),
для четного n~^t 4 и нечетного т~^Ъ.
Такая группа G порождается множеством X = ^x1X2,... ,XfXn^1}. Чтобы убедиться в этом, заметим, что
(I) {XiX2)(X3X1)[XiX4). . ¦(X1Xn.,) (Xn^1X1) = X1... Xn-IX1
и
(II) (X2X1)(X1X3)(X4X1). ..(Xn^2X1) (X1Xn^1) = X2. ..Xn-i
лежат в Gp (X), откуда, перемножая, получаем (X1... Xn.,)2 = Xn-2SGp(X).
Поскольку Xn имеет нечетный порядок, отсюда следует, ЧТО XnQ ? Gp(X). TeHePbX^ = X111-Xn-J1OTKyAa1 согласно (i), X1 Q Gp (X). Наше утверждение теперь очевидно.
В качестве контрпримера как к I, так и к II, Розбенбергер берет группу G при я = 4. Пусть H1 = (X1, х2, X1 = X2= 1), H2 = = (X3X4; xl = xf= 1); тогда A =#t П H2 = Gp (а), где O = X1X2 = s=(X9X4)-1, и G = H1* H2. Далее, G порождается множеством X =
А
^x1X2, X1X3}, в то время как, разумеется, она не может быть порождена никаким двухэлементным множеством Y ^ H1 U H2. Таким образом, I не имеет места. Более того, Rank (G) = = Rank (Hx) = Rank (H2) = 2, a Rank (A) = 1, так что и II неверно.
Примером группы, в которой I верно, а II неверно, служит группа G при п = 6. Возьмем H1 = (X1, X2, х„; X1 = X2 = Xa=I), H2 = (X4, xe,x„; Xt = Xl = X1?= 1), так 4toG = #,*//2 для A = Qp(a),
А
где O = X1X2X3 = (X1X6Xe)-1. Теперь G порождена Y = Ix1X21X1X3,
X4X6, X4X6}. Чтобы убеДИТЬСЯ В ЭТОМ, Заметим, 4To(X6X4)(X4X6)(X1X2) =
= (X6X6) (X1X2) = (X4X3X2X1) (X1X2) = x4xs Q Gp (Y), a (X1X3) (х3х4) = X1X4
и (X1X3) (X3X6) = X1X6 лежат в Gp (Y). Но тогда X = {X1X2.....xtx6}s
s Gp (V) и G = Gp (X) = Gp (Y). Здесь FsW1U H2, так что I справедливо, а II снова не верно.
Кун [19521 доказал теорему о подгруппах для G= # Hv, v(E І, в
случае, когда А нормальна, и выделил частный случай, когда А нормальна и G* л ^ = I- Мы уже отметили теорему X. Нейман (11.22). Другое ее доказательство было дано Имрихом [1975]. Дока-
11. Свободные произведения с объединенной подгруппой
125
зательство Карраса и Солитэра их теоремы о подгруппах свободных произведений с объединенной подгруппой использует шрайеровский переписывающий процесс. Этот метод был использован Фишером {19751, обобщившим их результат до теоремы о подгруппах древесного произведения. Чипман 119731, используя рассуждения, связанные с накрывающими пространствами, доказывает весьма общую теорему о подгруппах некоторого произведения групп относительно некоторого графа, где используемый граф не обязан быть деревом. Хиггинс [1966] использовал группоиды для обобщения на свободные произведения без объединенных подгрупп сильной формы теоремы Грушко — Неймана, принадлежащей Вагнеру [1957]. Также используя группоиды, Ордман [1971] распространяет этот результат на отображения свободных произведений с объединенной подгруппой в свободные произведения. Чизуэлл [1973] дает доказательство теоремы Грушко — Неймана по методу Серра [1968/69], использующему группы, действующие на деревьях. Каррас и Co-литэр [1971] дают теорему о подгруппах HNN-групп, а Коэн [1972], также используя метод Серра, доказывает уточненную форму их результата.
*
Глава II ПОРОЖДАЮЩИЕ И СООТНОШЕНИЯ
1. Введение
Очень часто группы описываются как факторгруппы свободных групп: G=FIN. Если F— свободная іруппа с базисом X, a N — нормальное замыкание в F некоторого множества R, то говорят, что пара (X; R) — представление для G, что не вполне формально записывается в виде G=(X; R).
Если X — множество образов ї в g элементов х из X, то X порождает G. Если r=r(xu.. ., Xn) — элемент из R, то в G верно равенство г(X1,..., xn) = 1. Допуская вольность речи, принято называть X множеством определяющих порождающих для G, а равенства г=\, где г ? R,— множеством определяющих соотношений. Принято и сами элементы г называть соотношениями. Элементы w из N называются следствиями множества R определяющих соотношений.
Предыдущая << 1 .. 48 49 50 51 52 53 < 54 > 55 56 57 58 59 60 .. 202 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed