Комбинаторная теория групп - Линдон Р.
Скачать (прямая ссылка):
Установим теперь (3) из 11.1. Пусть As<.Ar. Тогда v^U, откуда V ? W и и ? U*—А*. Предположим, что (3) не имеет места и \uav\^ ^|u|. Согласно (1), отсюда следует \uav\ = \u\ и М<[|и|. Таким образом, подслово г'-1 слова av=r'~lk's должно сократиться в произве-дении uav в подслове р слова U=P-1Hp, поскольку , а значит,
и Тогда р=^р\т' для некоторого рх. Из \uav\-=\u\ можно
вывести, что р' =pav=pxks имеет ту же длину, что и р. Поскольку a?N и Vs^r-1IiS € W, то Ar'= A ra~ х> А г и As<Ar^Ar'. Так как р оканчивается на г', а р' оканчивается на s то Ар'<Ар. Если заменить (и, а, и) на (a, v, и'), где и'=uav=p'~1hp', то Ap1 уменьшится для одного из ut=hpi в т без ущерба для остальных предположений. По индукции можно предполагать, что множество этих Ap1 минимально. Тогда описанная выше ситуация становится невозможной, так что (3) выполнено.
Рассуждение, симметричное приведенному, показывает, что Ap<iAq влечет за собой М<|иаи|. Для доказательства утверждения (2) остается показать, что Ap = Aq влечет за собой \v\<.\uav\. Однако из Ap=Aq следует, что U*—А* и, значит, vg W. Предположим, что Iwaul^M; тогда по утверждению (1) \u\^\v\=\uav\. Более того, а^^А*, так что |а/_,|=0<|о| и \ai^)uav\ = \uav\ = HaUl = M. Таким образом, мы можем использовать соотношение
122
пи..... і ' і'" i іігіії мнщммищп! і— її"'
Гл. 1. Свободные группы и их подгруппы
из N для замены (U1-1, а(_1г и, a, v) на (U^1, a(_jUa, и), что уменьшит t в противоречие с предположениями относительно т. Тем самым (2) доказано.
Итак, все условия леммы 11.1 выполнены, а с помощью этой леммы доказательство предложения 11.20 получается уже приведенными рассуждениями. ?
Совокупность доказанных выше утверждений позволяет доказать следующий вариант теоремы Карраса — Солитэра.
Предложение 11.21. Пусть G — свободное произведение групп Hv, где V пробегает данное множество индексов I, с объединенной подгруппой А. Предположим, что G* — некоторая подгруппа в G и N — нормальная подгруппа группы G, порожденная группами С* =p~1Hvp fl D G* для всех р из G и всех v ? /. Тогда N — древесное произведение некоторого семейства групп С* и G*/N — свободная группа. ?
Для получения теоремы X. Нейман (см. также IV. 6.6. ниже) напомним, что все объединяемые подгруппы в древесном произвел* нии N лежали в подгруппах, сопряженных с А. Таким образом, если G* имеет тривиальное пересечение со всеми подгруппами, сопряженными с А, то N — свободное произведение некоторого семейства групп С*.
Действие группы F на N не обязательно является свободным, но оно свободно в случае, когда С* имеет тривиальное пересечение со всеми подгруппами, сопряженными с А. Тогда F переставляет подгруппы С* ві?*, причем никакой нетривиальный элемент группы F не оставляет на месте никакую подгруппу С*. Пусть <§ — множество групп С* =HPlC\G*, для которых Ap минимально среди всех сопряженных группы С* элементами из G*. Тогда, как и раньше при рассмотрении множества <%), мы видим, что подгруппа Е, порожденная группами С* из является свободным произведением этих С*, что •N — нормальное замыкание подгруппы E в G* и что G* — свободное произведение групп EuF.
Тем самым доказана теорема X. Нейман [1948]; см. IV.6.6 ниже.
Предложение 11.22. Пусть G= Hv, v ? I, и предположим, что
А
G* — подгруппа в G, пересечения которой со всеми сопряженными подгруппы А тривиальны. Тогда G* — свободное произведение некоторых подгрупп Hl1C[G*, ц? /, g?G, и некоторой свободной подгруппы. ?
В случае Л = 1 получается теорема Куроша [1934]; см. III.5.1 ниже.
Цишанг занимался конечными подмножествами группы G, в частности, конечными порождающими подмножествами этой группы. Пусть дано некоторое конечное подмножество XsG. Используя то же самое отношение порядка, что и выше, можно применить
11. Свободные произведения с объединенной подгруппой 123
конечную последовательность элементарных нильсеновских преобразований, чтобы получить множество Y, такое, что Gp(X) = = Gp (Y), причем если х, г/^ Vі1 и хуф\, то**, у*<(ху)*. Рассмотрим теперь последовательность о= (ult..., ut), ?3=1, в которой все и-г лежат в К*1 и utui+1^\. В процессе применения разрешенных преобразований, использованных в доказательстве предложения 11.20, сопрягающие преобразования, переводящие (и, a, v) в (а, v, uav), где uQU, vQ\V, или в (и0-1"-1, и, а), где vQU, uQW, не дают никакого сокращения. Таким образом, применимы только преобразования, основанные на соотношениях группы N, и, в прежних обозначениях, G*=Gp(F) является свободным произведением групп N и F. В частности, согласно лемме 11.1, условия Iu1I,... ..., l«< KM = l«t. • .«(I могут не выполняться лишь в том случае, когда соответствующие условия не выполняются для некоторой подпоследовательности, у которой все Ut лежат в U. Таким образом, мы получаем вариант теоремы Цишанга, причем точная формулировка может быть восстановлена из приведенного доказательства.
Предложение 11.23. Если X— конечное подмножество группы G=*#v> V Ql, то последовательностью нильсеновских преобразований X можно перевести в множество Y со следующим свойством. Пусть U1,..., utQ Y^1, ?>1 и все utui+1 отличны от 1. Тогда либо
