Комбинаторная теория групп - Линдон Р.
Скачать (прямая ссылка):
Лемма 11.17. Если и, vQ W, ш>ф\ и Ap<.Aq, то \v\<\ugv\.
? Допустим, что IwguKM. По лемме 11.16 имеем IwKIuI = \ugv\. Теперь в произведении ugv=p~1hqr'~1ks сомножитель q должен сократиться, а буква h слиться. Но IwKIfI влечет за собой |оК ^k'I; таким образом, независимо от того, имеет место |о| = |г'| или і<7І<к'і, получаем ugv=r"~lk"s, \k"\ = \, где г оканчивается на q, а г" — на р. Далее, из Ap<Aq следует Аг"<Аг и (ugv)*<.v* в противоречие с тем, что и, V QW. ?
Обратимся к доказательству того, что S — базис свободной группы F и что N D F= 1. Рассмотрим последовательность a= (V1,... ..., vs), S^l, где каждое V1 либо лежит в U*, либо лежит в W, и предположим, что Vj ... vs = 1. Достаточно показать, что произведение W=Vi. ¦ -vs сводится к 1 посредством соотношений, выполняющихся в N, тривиальных соотношений вида VtV1+1 = I между элементами множества W и множества R3 соотношений р: us=v для и, VQ U* wgQW, определяющих действие множества W (а значит, и F) на N. Более точно, достаточно показать, что о можно свести к тривиальной последовательности O0=(I) последовательным применением шагов (а), (?), (у), соответствующих упомянутым выше соотношениям, т. е. переходов от (vt, vj + 1) к (и', v') или (г), где равенство V1V1 + 1=U1V' или V1V1+1=Z основано на этих соотношениях. Мы назовем эти шаги разрешенными.
Будем последовательно видоизменять a= (vlt..., vs) разрешенными шагами до получения новой последовательности а*, удовлетворяющей условиям леммы 11.1. Согласно п. (7) леммы 11.1, тогда будет ясно, что V1.. .vs=l возможно лишь когда о* — тривиальная последовател ьность.
Как и в доказательстве предложения 11.4, заменой части (vit vi+1) на (ViVi+1) в случае, когда vt, vi+1 Q А*, вставкой тривиальных членов CLi = I и циклической перестановкой элементов Vi мы можем заменить а на последовательность X=(U1, аи иг, а2,..., ut, at), где все ui—либо элементы из W1 либо элементы из U*—А*, а все
120
Гл. I. Свободные группы и их подгруппы
Я/ лежат в А*. (Мы исключили тривиальный случай, когда все V1 лежат в А*.)
Для проведения доказательства по индукции необходимо рассмотреть несколько более общий класс последовательностей т. Мы разрешим элементам at принимать те же значения, что и в формулировке леммы 11.1 в случае, когда /</ и ui + 1?W; для и/ + ,(ЕіУ*—А* и i=t мы будем продолжать считать, что at?A*.
Сформулируем теперь частный случай нашего результата.
Предложение 11Л8. Если все Ui? W и все UiUi+1 отличны от I, то тф\.
? В предположении, что все Ui лежат в W, из леммы 11.17 вытекает выполнение условий леммы 11.1. Тогда, согласно п. (7) этой леммы, получаем тф\. ?
Следствие 11.19. S — базис некоторой свободной группы F.
? Это следует из 11.18, если рассмотреть последовательность т= = (ult аи и2, а2,..., ии at), где U1^W, щиі+1Ф\ иаг = 1 для всех і. ?
Теперь мы готовы заняться деталями доказательства следующего предложения.
Предложение 11.20. G* является полупрямым произведением N на F
? Возвращаясь к введенным выше обозначениям, заметим, что нам нужно привести т разрешенными шагами к такому виду, в котором все тройки («j, oj, ui+1) удовлетворяют условиям леммы 11,1. Чтобы упростить обозначения, будем писать (и, a, v) вместо («,-,
Рассмотрим вначале случай и, W. По леммам 11.16 и 11.17 тройка (и, a, v) удовлетворяет условиям леммы 11.1 во всех случаях, за исключением того, когда uv=\ и uav^U*—А*. В этом случае, используя разрешенное преобразование, основанное на действии группы F на /V, мы можем заменить (и, a, v) на (uav). По предположению является произведением a,--i=gi. • -gn сомножителей gj€U*- Заменим часть (а,^, и, a, v) последовательности т частью (gi,--, gn, uav); после введения, если понадобится, нескольких членов 1 мы получим новую последовательность т' с требуемыми свойствами. Величина t может при этом возрасти, но число t0 элементов Ui^W при этом убывает.
На первом этапе нашего приведения последовательности т мы будем предполагать, что U уменьшено таким способом, насколько это возможно. В таком случае можно считать, что каждая тройка (и, а, V), где и, V ? W1 удовлетворяет предположениям леммы 11.1.
//. Свободные произведения с объединенной подгруппой 121
Рассмотрим далее случай, когда «, v?U*—А*. Согласно нашим общим предположениям о т, отсюда следует, что a ? А*. Теперь, рассуждая в точности так же, как и в предложении 11.4, можно применить преобразования (а), (?), (у), разрешенные в силу соотношений между элементами из N, чтобы либо уменьшить /, либо, оставляя t неизменным, уменьшить 2'"»i» либо, оставляя / и 2і"іі неизменными, увеличить лексикографический ранг строки |т| = =(]и,-],..., l«t„l), где щк— это те uit которые лежат в U*—А*. Используя индукцию по этим величинам относительно упомянутого порядка, можно предполагать, что каждая тройка (и, а, и), в которой и, v?U*—А*, удовлетворяет ограничениям леммы 11.1.
Остается рассмотреть такие тройки (и, a, v), в которых один из элементов и, V лежит в W, а другой — в U*—А*. Докажем вначале выполнение свойства (1) из леммы 11.1. Предположим, что и g (У*— A*, v?W и М=^|и|. Если (1) не выполняется, т. е. если \uav\<. <|и|, то из леммы 11.13, в которой у заменено наау, получаем \uav\<. <|«|. Однако тогда величина У!";! может быть уменьшена заменой тройки (и, a, V) на (a, v, uaz% причем это преобразование разрешено действием группы F на N. Получаем противоречие с тем, что величина 2|u,| по нашим предположениям разрешенными преобразованиями не уменьшается. Допустим теперь, что |«|<М, но (1) не имеет места, т. е. ]uav]<.\v\. Тогда (uav)*<.v*. Так как ua?N, это противоречит тому, что и G W. Таким образом, (1) доказано для и it U*—А* и v^ W. Из соображений симметрии это утверждение верно и когда и? W и v? V*—А*.
