Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Линдон Р. -> "Комбинаторная теория групп" -> 51

Комбинаторная теория групп - Линдон Р.

Линдон Р., Шупп П. Комбинаторная теория групп. Под редакцией Ремесленникова В.Н. — М.: Мир, 1980. — 447 c.
Скачать (прямая ссылка): kombinatornteor1980.djvu
Предыдущая << 1 .. 45 46 47 48 49 50 < 51 > 52 53 54 55 56 57 .. 202 >> Следующая

117
и «° = p~lq11k~1q1xhq1p. Теперь из |ы°|^|ы| следует, что Iqllk~lq1hq1lkq1| ^ 1; однако qi~1hq1QU и, используя предыдущее неравенство, получаем q11hq1=bQA, h=bi^, u = bq. Следовательно, мы находимся в условиях второго случая леммы 11.5, причем UVQU.
Пусть |<?|<|р|. Если q~x не сокращается в pq'1, то должно выполняться неравенство |ри|>|р| и м0==А(р0). Таким образом, p = p^q, Ip1I^l и p'=pv = pjiq. Из указанного неравенства теперь следует, что h сокращается или сливается, причем
|Л<И- ?
Лемма 11.8. Если и = Hp, |/j|=1, aQA и |«а|<|и|, то u = hx, IZi1I = 1 и W = hi Q А.
? Если |р|^ 1, то ua?=hPa приведено, причем |на| = |и|. Если |р I = 0, т. е. р Q А, то из u = hP следует, что u = hx, причем IZj1 I = 1. Теперь из | и" | < | и | следует | и" | = 0, т. е. что WQA. ?
Вернемся теперь к доказательству утверждения IV. При выполнении шага (ос) мы имеем пару (u,v), такую, что и, vQV, а uv QU. Пусть и QC1 Q S>, v QC2QeD; тогда из 11.5 и 11.6 следует, что и, и и, следовательно, uv лежат или все в C1 или все в C2; таким образом, данное соотношение следует из системы T1,
При выполнении (?), (у) можно предположить по симметрии для UQC1 QS) и V QClQS), что | ы°| < | и \. Если и, vQA, то заключение очевидно, если же в точности один из этих элементов лежит в А, то заключение следует из 11.6. По 11.7 доказательство закончено для всех случаев, кроме |</|<|р| nuv = hp', p' = pv и |р' I < |р|. Однако при выполнении этих условий Apv < Ар, что противоречит минимальности класса Ар.
Тем самым нами доказано следующее
Предложение 11.9. N является древесным произведением дерева Д. ?
Докажем теперь, что дополнением к N в G* служит некоторая свободная группа F.
Предположим, что элементы группы G вполне упорядочены, так что, если u = p~xhq, |р| = |<7і, |А|^1 и v^r~lks, \r\ = \s\, l&Kl, то и < V, как только |и|<|и|; если |и| = |и|, то и < о при условии, что Ap < Ar; если |ы| = |а|, Ap = Ar, то и < v при условии, что Aq < As. Пусть 5 —множество, получающееся из вполне упорядоченного множества G* вычеркиванием каждого и, содержащегося в подгруппе, порожденной группой N и элементами V < и. Пусть W = Su S~l. Для и QW будем писать и* вместо того из элементов и, и'1, который лежит в 5, т. е. того элемента, для которого и*^.и*~1. После некоторых предварительных
118 Гл. 1. Свободные группы и их подгруппы
замечаний мы покажем, что S- базис свободной группы F и Nf[F=I.
Фиксируем такие обозначения. Положим и = P-1Ag, \ р \ = | q |, Л если Ap = Aq, то можно считать, что p=q, а если
Л I = 0, то можно считать, что/і = 1 и и == p-1q. Положим v=r-1ks, r\ = \s\, \k\^.\\ если Ar = As, mr = s, и если |&| = 0, то k =
и v^sr-1s. Будем обозначать также через g элемент вида g=g1. ..
...g„, где для всех і, 1 <t'<n,g,€ t/*, |g,-|<M и . .g„u| = |t)|.
Лемма 11.10. ?сли и ^U, |«|^|и| и |ии| = |и|, то uv = s=r'-1k's, где или г' = г, или r' = ru-1, |r'| = |r|, причем либо k,k'?Hv — А для некоторого vg/, либо Ze = Ze'= 1.
? Поскольку |«u| = |u|, подслово р слова u = h? сокращается в произведении uv и А сливается. Из |ы|^|г>| следует |р|<;|г|. Если |р| = |г|, то Ap = Ar и, преобразуя v, можно считать, что р = г. Далее, из |и|^|и| следует, что |Ze|=l и что А и k сливаются, давая Ze'= AZe, |&'|=1. Тогда uv==r-1k's. Если |р|< <|rl, то г = rxhxp, IA11 = 1 и г'-1 = иг-1 =• P-1ZiVf1 для A' = hhi1, \h'\=\. ?
Лемма 11.11. Если g, v такие же, как и выше, то gu== r'-1Ze's, где г'= г или r' = rg-1, \ r'\ = \r\, причем либо k, k'^H^ — Адля некоторого v?/, либо Ze = Ze'= 1.
? Это доказывается индукцией с помощью леммы 11.10. ?
Лемма 11.12. Если u?U, |u|<|u| и \uv\^\v\, то |ы°|< <\и\.
? Снова в uv подслово р сокращается, a А сливается или сокращается с буквой A1 слова v. Таким образом, и== P-1Ii1Z, IZi1I=I и IAA11^1. Теперь из IVI < I и | следует, что | z | < | р|. Поскольку uv = (Ал>)г, где I Ал> К 1, то I uv I < I и\. U
Лемма 11.13. Если u^U и \v\, \uv\<]u\, то \uv\<.\u\.
? Из IuKIuI получаем IrKIpL Неравенство |ыи|<|«| позволяет заключить, что по меньшей мере одна буква, помимо подслова г~х слова V, сокращается в слове uv, а также, поскольку И+ 1^IpI, в слове p'=pv, откуда Ip'Klpl. Однако uv=h"', так что Iu0KIuI. С
Лемма 11.14. Если v?W, то \v\<.\vgv\.
? Предположим, что |ygx>Klt>|. Поскольку v=r-1ks, gv=r'~lk's, причем IsI = И = |r'I, и так как подслово s первого сомножителя v должно сократиться в произведении, то As=Ar', так что можно предполагать s=r' и gv=s-1k"s, причем |Ze"| = l. Однако тогда gv ? U* и включения g, gv?N противоречат v ? W. ?
//. Свободные произведения с объединенной подгруппой
119
Лемма 11.15. Если vQ W, то либо If KIf-1^fI, либо v_1gvQ U*.
? Предположим, что |u-1gfKlf|. Тогда v~1gv=s-1k~1r r'^k's, где И = к'і, откуда r'=ar, a Q А, и V^gV=S'1 (/e_1a_1/V)s, причем
Лемма 11.16. ?сл« «, vQW и иифі, то \и\, \v\^\ugv\.
? По предположению w=^f-1; кроме того, вследствие 11.14 мы можем считать, что иф-v. Таким образом, и*Фю*\ предположим, что «*<f*. Тогда |ы|<М, и если \ugv\<i\v\, то (ugv)*<Cv* в противоречие с vQW. Если и*<ы*, следует применить рассуждение, симметричное к приведенному. ?
Предыдущая << 1 .. 45 46 47 48 49 50 < 51 > 52 53 54 55 56 57 .. 202 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed