Комбинаторная теория групп - Линдон Р.
Скачать (прямая ссылка):
Большую роль в развитии идей Дэна сыграл Магнус, в свою очередь оказавший весьма сильное влияние на современные исследования. Книга «Комбинаторная теория групп» Магнуса, Карраса и Солитэра, появившаяся в 1966 г.1) и сразу же ставшая классической в упомянутой в заглавии области, была посвящена Дэну. Наше восхищение этой работой побудило нас дать нашей книге то же название. Надеемся, что нам удалось сделать еще один шаг
1) См, Магнус, Каррас, Солитер [1974],— Прим, ред.
8
Предисловие
в систематическом и углубленном изложении и обзоре данного предмета.
Нам кажется, что область комбинаторной теории групп вполне разумно очерчена в книге Магнуса, Карраса и Солитэра. Нет необходимости перечислять здесь все те проблемы, которыми мы будем заниматься,— для этого можно использовать оглавление книги. Хочется упомянуть лишь два общих метода, пронизывающих все изложение. Первый из них — «линейный» метод Нильсена, играющий важную роль в главах I и IV. Этот метод связан с формальным представлением элементов группы с помощью данного множества порождающих. Второй, более геометрический, метод, созданный Пуанкаре и Дэном и охватывающий большую часть современных исследований в теории малых сокращений, важен во второй, третьей и особенно пятой главах. Он связан с формальным представлением элементов нормальной подгруппы N группы G с помощью сопряженных к элементам данного множества, нормальным замыканием которого в G является N.
Мы сделали заметный акцент на связях с топологией, на рассуждениях примитивной геометрической природы и на связях с логикой. В нашем изложении мы пытались совместить ясность и замкнутость в себе (на весьма скромном уровне) с достаточной полнотой ссылок на исследования в рассматриваемой области. Значительные различия в стиле отдельных частей книги вызваны (помимо упомянутых соображений) тем, что каждая глава писалась лишь одним из авторов, хотя и в тесном сотрудничестве с другим. Тем не меі^ее мы считаем, что этот стиль изложения приемлем для книги такого характера.
Мы не видим необходимости объяснять, почему мы включили тот или иной материал, но хотим оправдаться в том, что некоторые темы /мы пропускали. Разумеется, есть немало важных разделов теории групп, которые никому не придет в голову включать в комбинаторную теорию групп, например, большая часть теории конечных групп. Пограничная область, которую мы не пытались затрагивать здесь,— это теория групп с условиями конечности. Кроме упомянутых остается целый ряд важных тем, которые, по нашему мнению, принадлежат к комбинаторной теории групп, однако если и были упомянуты в настоящей книге, то совсем бегло, поскольку мы никоим образом не рассчитывали улучшить уже имеющиеся отличные изложения этих тем. Упомянем некоторые из них.
1. Коммутаторное исчисление и теория Ли. Прекрасное изложение дано в гл. 5 книги Магнуса, Карраса и Солитэра [1974]. Заметки Ф. Холла «Нильпотентные группы» были переизданы в 1970 году *).
1J Русский перевод, см. Ф. Холл [1968].— Прим. ред.
Предисловие
9
2. Многообразия групп. Определяющей работой является книга X. Нейман [1969]
3. Линейные группы. Наиболее подходящие к нашей теме — монографии Диксона [1973] и Верфрица [1973].
4. Группы, действующие на деревьях. Мощный метод Басса и Серра — центральный в нашей теме. Обзор этой теории содержится в широко распространенных заметках Серра [1974], предназначенных для публикации в серии «Lecture Notes» издательства «Шпрингер».
5. Концы групп. Развитие этого предмета Столлингсом [1968, 1968, 1970 и 1971]1) и Суоном [1969] также находится в центре внимания в рассматриваемой нами области. Прозрачное и глубокое изложение этого предмета с несколько иной точки зрения дано в книге Коэна [1972].
6. Теория когомологий. Из множества отличных источников наиболее близкой к духу нашего изложения кажется книга Грюнберга [1970] 2).
Мы хотели бы обратить внимание на несколько других книг, имеющих отношение к нашей тематике. Для изложения истории теории групп в начале нашего века мы отсылаем читателя к книге Вуссинга [1969]. Книга Куроша в ее различных изданиях и переводах остается наряду с книгой Магнуса, Карраса и Солитэра классическим источником информации о бесконечных группах. В книге Кокстера и Мозера [1972], помимо других вещей, содержатся представления для целого ряда групп, большей частью геометрической природы. Многое заимствовано нами из книги Цишанга, Фогта и Колдьюи [1970]. Изложение теории фуксовых групп с комбинаторной точки зрения можно, кроме того, найти в заметках Макбета [1961] и в книге Магнуса [1974]. Элементарное изложение основных связей между топологией и теорией групп имеется в книге Масси (см. Масси, Столлингс [1977]). С подробным изложением алгоритмических проблем в теории групп читатель встретится в книге Миллера III [1971]3).
1) См. русский перевод в книге Масси и Столлипгса [1977].— Прим. перев.
2) Нам хотелось бы сделать следующее добавление этому списку. Для решения знаменитой проблемы Бернсайда о существовании бесконечных конечно порожденных групп конечного периода П. С. Новикову и С. И. Адяну потребовалось развить богатую комбинаторную технику исследования. Подробное и усовершенствованное ее изложение с другими приложениями содержится в книге С. И. Адяна [1975].— Прим. ред.
