Комбинаторная теория групп - Линдон Р.
Скачать (прямая ссылка):
Пусть U и V — подгруппы группы Н, заданные так:
U = <&,-, с,, ..., р ф) <і < тф), р(с)< / < тф), ...>
и
V = KJb1, Cj, ..., \хф)< і^тф), р(с) < /<т(с), . ..>.
Тогда
G = <#, t; Wt-1^Vy.
Предположим вначале, что \іф)<Стф) и \х(с)<.т(с). Пусть Z= =Ь)иЬ)спчс). Допустим, что U1 и U2 — два неединичных элемента из U. Применяя теорему о свободе, видим, что равенство вида zu1z~1=u2 не может выполняться в Н, поскольку ни правая, ни левая его часть не содержит Ьтф) (а ЬтЬ) встречается в s). Аналогично, если V1 и V2 — неединичные элементы из V, то невозможно равенство Z-1UiZ=U2, так как ни одна из частей не содержит Сц(с). Таким образом,
ZtVz-1D(V = IIf=Vr]Z-1Vz,
и группа G является SQ-универсальной по теореме 11.7.
Если допущенные выше неравенства не имеют места, то предположим для определенности, что цф)=тф). Это означает, что никакое bt не встречается среди порождающих подгрупп U и V. Положим г=СщС)ст(С) (где, возможно, р(с)=т(с)) и применим уже приведенное рассуждение. ?
Одно из направлений, которое мы даже не затронули, это теория малых сокращений для полугрупп. Прекрасное изложение этой теории с геометрической точки зрения можно найти у Реммерса [1971].
В этой главе мы интересовались лишь теорией малых сокращений. Следует отметить -в то же время, что польза от применения диаграмм при доказательстве теорем ни в коей мере не ограничивается теорией малых сокращений. Еще раньше диаграммы были
Теория малых сокращений на HNN-расширениями
393
использованы Линдоном [1972] при доказательстве теоремы о свободе (II.5.1). Упомянем также геометрическое доказательство лемм Бриттона и Коллинза, данное Миллером и Шуппом [19731. Кроме того, диаграммы были использованы в работе Гурвица Р. [1976], где показано, что если G — свободное произведение двух свободных групп с конечно порожденными коммутирующими подгруппами, то проблема сопряженности в G алгоритмически разрешима.
Список литературы
Адельсбергер (Adelsberger Н.)
[1930] Uber unendliche diskrete Gruppen. J. Reine Angew. Math., 163, 103—124. Адян С. И.
[1955] Алгоритмическая неразрешимость проблем распознавания некоторых
свойств групп.— Докл. АН СССР, т. J03, с. 533—535. [1957] Неразрешимость некоторых алгоритмических проблем теории групп.—
Тр. Моск. матем. о-ва, т. 6, с. 231—298. [1958] Об алгоритмических проблемах в эффективно полных классах групп.—
Докл. АН СССР, т. 123, с. 13—18. [1966] Определяющие соотношения и алгоритмические проблемы для групп
и полугрупп.— Тр. Матем. ин-та В. А. Стеклова, т. 85, с. 1—123. [1975] Проблема Бернсайда и тождества в группах.— M.: Наука. Адян см. Новиков. Акагава (Akagawa Y.) 11968] On the number of fundamental relations with respect to minimal generators of a p-group. J. Math. Soc. Japan, 20, 1—12. Акка (Ackca J.)
[1974] Untergruppen speziell prasentierter Gruppen. Bonn: Gesellsch. fur Math, und Datenverarbeitung. Аккола (Accola R. D. M.) [1968] On the number of automorphisms of a closed Riemann surface. Trans. Amer. Marh. Soc, 131, 398—408. Алберт, Томпсон (Albert A. A., Thompson J.) [1959] Two-element generation of a projective unimodular group. Illinois J. Math., 3 , 421—439. Алтен (Althoen S. С.) [1973] A Seifert-van Kampen theorem for the second homotopy group. Thesis,
New York: City Univ. of New York. [1974] A geometric realization of a construction of Bass and Serre. J. Pure Appl-
Algebra, 5, 233—237. [1975] A van Kampen theorem, J. Pure Appl. Math., 6, 41—47. Аль|>орс (Ahlfors L. V.)
[1964] Finitely generated Kleinian groups. Amer. J. Math., 86, 413—429. Андреадакис (Andreadakis S.) [1963] On some series of groups of automorphisms of groups. Bull. Soc. Math. Grece, 4, 111—120.
[1965] On the automorphisms of free groups and free nilpotent groups. Proc
London Math. Soc, 15, 239—268. [1969] On the embedding of a free product of cyclic groups. Bull. Soc. Math. Grece,
10, 19—34.
[1969] On semicomplete groups. J. London Math. Soc, 44, 361—364. [1971] Semicomplete one-relator groups. Bull. Soc. Math. Grece, 12, 1—6. Аппель (Appel К. I.) [1968] One-variable equations in free groups. Proc. Amer. Math. Soc, 19, 912— 918.
Список литературы
395
11969] On two-variable equations in free groups. Proc. Amer. Math. Soc, 21, 179—181.
[1971] The conjugacy problem for tame alternating knot groups is solvable. Notices Amer. Math. Soc, 18, 42.
[1974] On the conjugacy problem for knot groups. Math. Z., 138, 273—294. Аппель, Дьоруп (Appel К. I., Djorup F. M.)
[1968] On the equation гї. . .г%—Уп m a free semigroup. Trans. Amer. Math. Soc, 134, 461—470. Аппель, Шупп (Appel К. I., Schupp P. E.)
[1972] The conjugacy problem for the group of any tame alternating knot is solvable. Proc. Amer. Math. Soc, 33, 329—336. Артин (Artin E.)
[1947J The free product of groups. Amer. J. Math., 69, 1—4.
[1947] Theory of braids. Ann. of Math., 48, 101—126.
(1947) Braids and permutations. Ann. of Math., 48, 643—649.
[1950] The theory of braids. Amer. Scientist, 38, 112—119. Асельдеров Ж M.
[1969] Об уравнениях с одним неизвестным в свободной группе. Теория автоматов и методы формализованного синтеза электронных машин и систем.— Труды семинара, Киев, 1968, с. 3—16.— АН УССР, Киев. Ауманн (Aumann R. J.)
