Комбинаторная теория групп - Линдон Р.
Скачать (прямая ссылка):
390_Гл. V. Теория малых сокращений
\v If /-Л4- // /
Рис. 11.2.
ходим к диаграмме, удовлетворяющей обоим условиям (1) и (2). Итак, нами доказана
Теорема 11.5. Пусть R—симметризованное подмножество группы G. Для любой последовательности Pu • • ¦ > Pn элементов, сопряженных с элементами из R, существует диаграмма, удовлетворяющая условиям (1) и (2). ?
Как обычно, выводится
Теорема 11.6. Пусть F=(H, t; 1'1At=B, г|)) есть HNN-расширение группы Я. Допустим, что R — симметризованное подмножество группы F, удовлетворяющее условию C(X), 1/6, и N — нормальное замыкание для ReF. Если w — нетривиальный элемент из N, то W=WiSw2 в приведенной форме, где существует циклически приведенный элемент г QR, такой, что в приведенной форме r=sv, причем |s|>(l—X)|г|.
В частности, естественное отображение х: F ->F/N изоморфно вкладывает группу H в FIN. ?
Как читатель- уже, наверно, догадывается, мы собираемся доказать, что многие HNN-расширения являются SQ-универсальными.
Теорема 11.7. Пусть Я*= (Я, /; (-1At=B, г|;) — некоторое HNN-расширение. Если в H есть элемент гф\, такой, что
Z-1Az ViA= {I) = ZBz-1O В,
то группа Я* является SQ-универсальной.
? Пусть С=(си ... ; S)— произвольная счетная группа. Положим F=(C*H, t; 1'1At=B, i|)>. Рассмотрим элемент z из Я, удовлетворяющий условиям теоремы, и построим симметризованное множество R, порожденное элементами
г. = czP"г/80.г/80'
Покажем, что R удовлетворяет условию С" (Т/6). Пусть гаг' элементы из R. Для изучения сокращения в произведении гг'
Процедура для дуги /,, еи ... , eh, /2 из дМ, такой, что ф (/,)== = t, <p(f2)=t-1, ff; суть Я-ребра, причем ф(е!). . .y(eh)=bQB, аналогична. Нужно разделить ребро /2 на ребра e'k, ... , е{, /3, eft+l с метками ср(е;.)=ср(e.)-i, г'=/г, . .. , 1, ф(/3)=/-' и ф (ей + ,)=^_1(&). Затем надо последовательно отождествить е,- с f=fe, ... ,1, и /3 с После конечного числа применений этих процедур мы при-
_11. Теория малых сокращений над YfiW-расширениями 391
можем предполагать, что г кончается на te, є=±1, а г' начинается на t~e. Для определенности допустим, что г кончается на (. (Оставшийся случай аналогичен.) По лемме Коллинза (теорема IV. 2.5) имеем T=O1Si^f1 и Z=O2S2O2-1, где Si и S2 — циклические перестановки элементов rf1, подобных выписанному выше, a O1 и Ь2 лежат в В. Из формы элемента rt легко видеть, что начальная строка вида tfz6tmzbtnzb, б=±1, вполне определяет циклическую перестановку элемента rt. Таким образом, если в произведении гг' сокращается как минимум три блока со степенями элемента /, имеем S2=Sf1. Три последовательных блока со степенями элемента / имеют длину, много меньшую 1/6 длины любого элемента из R, который может нам встретиться. Значит, если в произведении гг' сокращается 1/6 часть одного из элементов г, г', имеем S2=Sf1.
Для доказательства равенства г'—г~х остается показать, что bi=b2. После сокращения первых /-символов имеем tb{1b2t~1 = =ty~1{br1b2). После сокращения первого блока ґ-символов приходим к равенству
rr' = ...^2-1/-1...,
где Ь* ="ty~/(ba) € В для некоторого /. Поскольку сокращения происходят и дальше, должно быть zb*z~x € В. Согласно предположениям на 2, отсюда следует, что Ь* = \ и, значит, что bi=b2. ?
Только что доказанная теорема имеет интересное приложение к группам с одним определяющим соотношением. Напомним, что группа с одним определяющим соотношением G= {t, Ь, с, ... ; г), где г циклически приведено, а некоторый из порождающих, входящий в г, входит в суммарной степени 0, скажем ст((г)=0, является HNN-расширением некоторой другой группы с одним определяющим соотношением; см. IV.5. Нам понадобится следующая
Лемма 11.8. Пусть G= {а, Ь, ... ; г) — произвольная группа о одним определяющим соотношением, имеющая не менее двух порождающих. Тогда G обладает представлением (t, ... ; г' >, для которого а((г)=0.
? Если сумма показателей при а или при b в г равна нулю, то в качестве t следует взять тот элемент а или Ь, который подходит. В противном случае проведем индукцию по (\oa(r)I + \оь(г)\). Допустим, что 0<|оо(г)К1оь(л)|. Тогда G обладает представлением G= = (а, Ь, ... ; г'), где г'=г(аЬ~ь, Ь, ...). При подходящем выборе є=-?І имеем \оь(г')\<.\оь(г)\. Следовательно, у G есть представление нужного типа. ?
Теорема П.9. Пусть G= (/, Ь, с, г) — группа, представленная с помощью одного соотношения и по меньшей мере трех порождающих. Тогда G является SQ-универсальной.
Гл. К. Теория малых сокращений
? Как обычно, будем предполагать, что г циклически приведено и по предыдущей лемме что 0((/-)=0. Будем смотреть на G как на HNN-расширение некоторой группы H с одним определяющим соотношением. Обычно наиболее удобно считать, как это мы делали в IV.5, что индексы при порождающих группы Н, отличных от элементов вида Ъ, пробегают множество всех целых чисел. Здесь мы не будем делать этого. Пусть s — это г в переписанном виде. Для каждого порождающего х группы G пусть р (х) — минимальный индекс при х, входящем в s, а т(х) — максимальный индекс при таком х. Положим
H = <?,-, Cj, ..., р ф) < г* < т ф), р (с) ^ / < т (с), ...; s>.
