Комбинаторная теория групп - Линдон Р.
Скачать (прямая ссылка):
Нетрудно убедиться в том, что если Z1. ..г3 содержит последовательность букв вида [х2у [x^Y х2у (X1^yY+1 х2у\±х, то понятно, о какой перестановке какого из rf1 идет речь, и мы имеем г' = г-1. Нетрудно понять также, что если число s не меньше одной десятой длины элемента г или г', то Z1...zs содержит последова-
13»
388 Гл. V. Теория малых сокращений
тельность букв указанного вида. Таким образом, R удовлетворяет условию С" (1/10).
По теореме 11.2 группа С вкладывается в G=FIN. Поскольку каждое Ti содержит в точности одну букву с, переписывая соотношения множества S с помощью преобразований Тице на хх, X2 и у, можно удалить все соотношения R. Таким образом, G действительно является факторгруппой группы Р=(Н*К; A=B). О
Заметим, что теорема 11.3 может быть использована для доказательства того, что группа
Н = <а, Ь, с, d; b-,ab = a2, c^bc = ^, U-1Cd = C2, a~lda = d2>
с четырьмя порождающими и четырьмя определяющими соотношениями, использованная Хигманом [1951] для доказательства существования конечно порожденной бесконечной простой группы, является SQ-универсальной. (См. Шупп [1973].)
При обсуждении теории малых сокращений над HNN-расшире-ниями мы будем следовать работе Сасердота и Шуппа [1974]. Пусть F= (Я, t; I-1At=B, -vp> есть HNN-расширение группы Я. Если w — некоторый элемент группы F, то нормальная форма для w — это произвольная последовательность
V1A1- • • hnf"An + 1 = w,
к которой неприменимы никакие Z-редукции. Любые две нормальные формы элемента w содержат одно и то же число Z-символов. Если и и V имеют нормальные формы U=Zi0Z8'. . .ZinZe"/in + 1 и v=h'0tok .. . . .Z6"»Zi„,+1, то скажем, что при составлении произведения uv произошло сокращение, если либо гп=—1, hn+1h'0QA и S1=I, либо е„ = 1, An+1A0 ?? и oi=—1- Скажем, что произведение w=uv приведено, если при составлении произведения uv не было никаких сокращений.
ПодмножествоR^Fназываетсясимметризованным, если из г QR следует, что г циклически приведен и что все циклически приведенные элементы, сопряженные с г*1, лежат в R. Слово b называется КуСКОМ (ОТНОСИТеЛЬНО R), єсли ИМеЮТСЯ раЗЛИЧНЫе Элементы Г], г г
из R, такие, что T1=Oc1 и г2=Ьсг в приведенной форме.
Для любого положительного числа К определим условие C(K) так:
Условие C(K). Если гQR имеет приведенную форму r=bc, где b — кусок, то \Ь\<Х\Л. Кроме того, И>1/Я для всех г QR.
Условие C(1K) является весьма сильным, так как для определения кусков следует использовать все нормальные формы всех элементов из R.
Пусть R — симметризованное подмножество группы F. С каждой последовательностью ри .,, , рп элементов, сопряженных с эле-
І
//. Теория малих сокращений над HNN-расширениями
389
ментами из R, мы свяжем некоторую диаграмму M [ри . .. , рп), являющуюся связной односвязной ориентированной планарной картой с выделенной точкой О, принадлежащей границе дМ карты М. Ребра карты M будут помечены функцией <р со значениями в F, удовлетворяющей двум условиям:
(1) Если еи . .. , es — взятые по порядку ребра граничного цикла карты М, начинающегося в точке O1 то ф (^1). . .ф(^) — приведенная форма элемента W=P1. . .рп.
(2) Если D — произвольная область карты М, а еь . .. , е3 — ребра некоторого граничного цикла для D, то ф(Єі). . .ф(е/) — приведенная форма некоторого циклически приведенного элемента, сопряженного С ОДНИМ ИЗ Pi.
Если теперь р — циклически приведенный элемент, сопряженный с некоторым элементом из R, то можно записать р=ши~1, где и — элемент, имеющий нормальную форму U=K1^k . .hnte»hn+1, 6j = ±l, а гZR имеет нормальную форму
r = (E» + mn+,...fn + "hn+m+11 Bj = ±1,
причем некоторые из hi могут равняться 1.
Начальная диаграмма для одного р — это петля с вершиной и, соединенной с базовой точкой О некоторым путем. Путь Ov состоит
ИЗ 2п+1 ребер Єи /і, ... ,Єп, /„, Єп + 1, ГДЄ ф(Є/)=/ї« и <ptfi) = tei.
Ребра, помеченные группой Я, называются Я-ребрами, а ребра, помеченные элементами і±г, называются t-ребрами. Петля в точке v состоит из 2т ребер
+ і.....fn + m> Єп + Я + 1, ГДЄ ф («„+y) = An+, И ?(/„+,) =
Начальная диаграмма для последовательности рх.....рп со-.
стоит из начальных диаграмм для каждого pt, расположенных вокруг базовой точки О. Начальная диаграмма обладает всеми обычными свойствами, за исключением, возможно, условия (1); произведение меток на ребрах из дМ не обязано быть приведенным.
Допустим, что имеется дуга /ь еи ... , eh, /2 в дМ, такая, что ф^х)=!-1, ф(/2) = ^ ребра et — это Я-ребра и произведение а= ==ф(еі). . .ф(ей) лежит в подгруппе А. Разделим ребро /2 на последовательные ребра e'k, ... , е[, /3, с метками ф(е})=ф(е<)-1, »=1, ... ,k, <f(f3)=t и Ф(ек+і)=ф(а). (См. рис. 11.2.)
Поскольку в F выполняется соотношение t~lat=ty(a), то t= =а-1гф(а). Таким образом, произведение меток на ребрах из дМ остается неизменным. Точно так же, если первоначальное ребро принадлежало границе некоторой области D, то произведение меток на ребрах граничного цикла для D остается без изменения. Далее последовательно отождествим ребра е\ и еь i=k, ... , 1, и ребра fu U- Заметим, что эта процедура уменьшает число Z-ребер в М.
