Комбинаторная теория групп - Линдон Р.
Скачать (прямая ссылка):
Теорема 6.6. Пусть G = <Л * В; F = y (F)> — нетривиальное произведение с объединенной подгруппой. (Соответственно пусть G = (A, t; t~lFt = ср (F)> — некоторое HNN-расширение.) Предпо-
6. Биполярные структуры
289
J10OKuM, что H — конечно порожденная подгруппа в G и все сопряженные с ней в G подгруппы пересекают F тривиальным обрати. Тогда
Я = /С*(*аЯа),
где К — некоторая свободная группа и каждое На — это пересе-цение подгруппы H с некоторой подгруппой, сопряженной с одним из множителей (соответственно с базой) группы G.
Теорема остается справедливой и без предположения о конечной порожденности группы Я. Полное рассмотрение теорем о подгруппах для свободных произведений с объединенной подгруппой и HNN-расширений см. в статьях Серра [1974] или Карраса и Солитэра [1970, 1971]. Из теоремы непосредственно вытекает
Следствие 6.7. Пусть о = <Л*В; F = <f>(F)> — нетривиальное свободное произведение с объединенной подгруппой. (Соответственно пусть С- = <Л, t; tFt~x = ff(F)y —некоторое HNN-расширение.) Если H — конечно порожденная подгруппа в G, тривиально пересекающаяся со всеми сопряженными с множителями AuB (соответственно с базой А) подгруппами группы G, то H свободна. ?
Для доказательства теоремы нам понадобится следующая
Лемма 6.8. Пусть G = <Л * В; F = ф (F)> — нетривиальное свободное произведение с объединенной подгруппой. Пусть H — I конечно порожденная подгруппа в G. Тогда либо H содержится І в подгруппе, сопряженной с одним из множителей группы G, I либо в некоторой подгруппе, сопряженной с группой Н, содер-I жится циклически приведенный элемент длины не менее 2. Ана-I логичным образом пусть G = <A, t; tFt'1 = ф (F)> — некоторое ЪШЦ-расширение. Если Н —конечно порожденная подгруппа eG, по или H содержится в некоторой сопряженной с базой А подгруппе, или в некоторой сопряженной с группой H подгруппе содержится циклически приведенный элемент длины не менее 2.
і D Докажем эту лемму для свободных произведений с объединенной подгруппой. Аналогичным образом можно провести доказательство для HNN-расширений. Доказательство проводится индукцией по s, сумме длин элементов конечного множества порождающих для Н. Если s==l, то H содержится в некотором множителе. Пусть H= (hu hn). Если какое-либо ht циклически приведено и его длина не менее 2, все в порядке. Предполагая, что это не так, запишем каждое ht в приведенной форме ht=Ci ...~ch (возможно, 1), тогда а и cft лежат в одном и том же множителе. Если два Иорождающих для Я, скажем ht и hj, начинаются и кончаются элементами разных множителей, произведение hthj циклически при-
! 10 WJ»653
290
Ґл. /V. Свободные произведения и HNU-расширениЯ
ведено и имеет длину, не меньшую 2. Поэтому предположим, ЧТО приведенные формы для всех H1 начинаются и оканчиваются на элементы из одного и того же множителя, скажем А. Если все h-имеют длину 1, НаА. Поэтому предположим, ЧТО H1=C1 ... k>\, C1, ch Є А, для некоторого і. Заменим группу H на C11Hc1= = {hl, Kn), где Kj=C11HfI. Сумма длин элементов Л} меньше суммы длин элементов hj. Лемма доказана. ?
Вернемся к доказательству теоремы 6.6. Читатель, знакомый с доказательством Столлингса гипотезы Серра в конечно порожденном случае, заметит, что, хотя мы не упоминаем о концах, общая стратегия нашего доказательства та же самая.
Доказательство теоремы 6.6. Будем использовать обозначения из формулировки этой теоремы. Если H содер» жится в некоторой сопряженной с множителем (соответственно с базой) группы G подгруппе, результат получается тривиальным образом, поэтому допустим, что этот случай не имеет места. Будем вести доказательство по л — минимуму числа порождающих группы Н. Если п=1, то H= (hi) не содержится ни в какой сопряженной с каким-либо множителем подгруппе, т. е. H1 имеет бесконечный порядок и, значит, группа H свободна.
Допустив, что результат верен при l^n^fe, докажем его для n=k+\. Заметим, что подгруппа H группы G имеет представление приведенного в формулировке теоремы вида тогда и только тогда, когда таким представлением обладают все сопряженные с H подгруппы. По лемме 6.8 некоторая сопряженная с группой H подгруппа Н* содержит циклически приведенный элемент длины, большей чем 1. Заменим Я на Я*.
Наделим G биполярной структурой, связанной с рассмотрением группы G как.свободного произведения с объединенной подгруппой или как HNN-расширения. Биполярная структура на Н*
ПОЛучаеТСЯ ВЗЯТИеМ ТеореТИКО-МНОЖеСТВеННЫХ Пересечений MHO'
жества Я* с множествами F, ЕЕ и т. д. Итак, FH,=H* П F, ЕЕ*Н*^ =Н*Г\ЕЕ* и т.д. Заметим, что аксиомы 1—5 для биполярной структуры наследственные, значит, они сохраняются в предлагаемой биполярной структуре для Я*. Нам нужно проверить аксиому нетривиальности. Однако в Я* содержится циклически приведенный элемент h* длины не менее 2, следовательно, один из Н* или (Zi*)-1 лежит в ЕЕ*. Таким образом, ЕЕ*н,Ф0.
По предположению относительно Я имеем Н* Г] F=[I}. Но ^я»={1} означает, что Я*—нетривиальное свободное произведение, скажем Я* =Яі*Я2. По теореме Грушко — Неймана Hi и H2 имеют меньшее число порождающих, чем Я*. Поэтому по предположению индукции Hi и H2 имеют разложения желаемого типа. Однако очевидно, что свободное произведение двух групп
