Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Лелон-Ферран Ж. -> "Основания геометрии" -> 94

Основания геометрии - Лелон-Ферран Ж.

Лелон-Ферран Ж. Основания геометрии — М.: Мир, 1989. — 312 c.
ISBN 5-03-001008-4
Скачать (прямая ссылка): osngeomlf1989.djvu
Предыдущая << 1 .. 88 89 90 91 92 93 < 94 > 95 96 .. 97 >> Следующая


ch a = ch Ъ ch с — sh Ъ sh с cos а (1)

и ему аналогичными.

a) Покажите, что можно свести дело к случаю, когда точка А совпадает с центром S).

b) Выразите в этом случае ch a, ch Ъ и che через и = ||Л5||г

а = ||ЛС|| и w = AB* AC (примените формулу (1) из упр. 17).

c) Получите отсюда соотношения

sh а _ sh Ъ sh с

sin а sin ? sin у "

22. Обобщим модель Бельтрами, заменив единичный круг ЗУ кругом S)R, определенным неравенством х2 -f у2 < R2. Расстояние между точками Л, В зададим соотношением

ch (±!Л^У\ = R2-OA-OB

С \ R ) (Rz-OA2)1'2 (R2-OB2)1'2'

a) Проверьте, что в полученной «метрической плоскости» функция Лобачевского выражается как а = 2 arc ig e~d/R.

b) Как изменятся формулы (1) и (2) из упр. 21?

c) Покажите, что при R ^ оо расстояние 6(А, В) между двумя фиксированными точками имеет пределом евклидово расстояние между ними. (Евклидова геометрия становится, таким образом, предельным случаем гиперболической геометрии.)

23. Обозначим через К такое подполе в R, что для любого х^К действительное число \х\1/2 принадлежит К. Покажите, что К X К, снабженное канонической евклидовой структурой, удовлетворяет аксиомам, получаемым из аксиом метрической плоскости (аксиом расстояния, § III. 2) при замене в них R + на К+. Сохраняется ли такое положение для гиперболической геометрии? (Примените формулы гиперболической тригонометрии.)

24. Пусть 0і — евклидова плоскость, т. е. «метрическая плоскость», в которой выполняется аксиома Евклида Ex (см. конец § VI. 9).

а) Проверьте, что 0і является упорядоченной плоскостью аффинного типа (см. § V. 9).

УПРАЖНЕНИЯ

301

b) Покажите, что произведение двух центральных симметрии является трансляцией (см. § V. 2). Выведите отсюда, что 0у есть плоскость трансляций (см. определение V. 3.1).

c) Пусть р — проектирование в направлении б ориентированной прямой 0) на другую ориентированную прямую І2У. Покажите, что р — монотонное отображение и что расстояние d(p(A), р(В)) зависит только от расстояния d(AfB) (где А>

Выведите отсюда, что р — аффинное отображение (идею можно почерпнуть из исследования, проведенного в § V. 9, а затем применить теорему 1.7.8).

d) Покажите, что 0і есть аффинная плоскость над полем R (теорема Фалеса, установленная в с), позволяет определить произведение вектора на действительное число).

25. Пусть 0і — евклидова плоскость.

a) Установите «признаки подобия треугольников», соответствующие их «признакам равенства» (см. упр. VI. 2).

b) Сравните различные доказательства, которые можно привести для теоремы Пифагора. (Применение ортогонального проектирования, скалярного умножения, признаков подобия прямоугольных треугольников.)

ЛИТЕРАТУРА l)

[AR] Artin E. Algebre geometrique. Cahiers scientifiques, fasc. XXVIII. —Paris: Gauthier-Villars, 1972. [Имеется перевод: Артин Э. Геометрическая алгебра. — M.: Мир, 1976.]

[AZ] Artzy R. Linear geometry. — Addison Wesley, 1965.

[BA] Bonola R. Non euclidean geometry. — New York: Dover publications, 1955.

[BE] Berger M. Geometrie. 5 vol. — Paris: CEDIC, Fernand Nathan, 1977. [Имеется перевод: Берже M. Геометрия. Т. 1, 2. —M.: Мир, 1984.1 TBI—ML] Birkhoff G., Mac Lane S., Algebre. 2 vol. Cahiers scientifiques, fasc. XXXV et XXXVI. — Paris, Gauthier Villars.

IBK-SZ] Borsuk K., Szmielew W. Foundations of geometry.— Amsterdam; North Holland Publishing company, 1960. [BO 1] Bourbaki N. Algebre (Livre II), Chapitre I, V, VI. Actualites scientifiques. — Paris: Hermann. [Имеется перевод: Бурбаки H. Алгебра — M.: Физматгиз, 1962 (гл. I—III), Наука, 1965 (гл. IV-VI).] [ВО 2] Bourbaki N. Topologie generale (Livre III), Chapi-tres III a VI. Actualites scientifiques. — Paris: Hermann. [Имеется перевод: Бурбаки H. Общая топология — M.: Физматгиз, 1958. (гл. I—III), 1959, гл. IV—VIL] -[BR] Brisac R. Expose elementaire des principes de la geometrie euclidienne. — Paris: Gauthier-Villars, 1955. [BU] Buseman H. The geometry of geodesies. — New York: Academic Press, 1955. [Имеется перевод: Буземан Г. Геометрия геодезических. — M.: Физматгиз, 1962.] [BU-KE] Buseman H., Kelly P. J. Projective geodesies and projective metrics. — New York: Academic Press, 1953. [Имеется перевод: Буземан Г., Келли П. Проективная геометрия и проективные метрики.—M.: ИЛ, 1957.] [CA] Carrega J. С. Theorie des corps. La regle et Ie com-pas. — Actualites scientifiques, fasc. 1402. — Paris: Hermann, 1981.

1J Чтобы не дезориентировать читателя, мы даем лишь ограниченную библиографию, отдавая предпочтение литературе на французском языке. Более полная библиография содержится в [EV], [PI], [ST].

ЛИТЕРАТУРА ЗОа

[CH] Choquet G. L'enseignement de la geometrie. — Paris: Hermann, 1964. [Имеется перевод: Шоке Г. Геометрия.—M.: Мир, 1970.] [СО] Coolidge J. L. The mathematics of great amateurs. — Dover publications.

[CX 1] Coxeter H. S. M. Non euclidean geometry. — Toronto: University of Toronto Press, 1947.

[SX 2] Coxeter N. S. M. Introduction to geometry. — New York: John Wiley and Sons, 1969. [Имеется перевод: Кок-стер Г. С. М. Введение в геометрию. — M.: Наука,. 1966.]
Предыдущая << 1 .. 88 89 90 91 92 93 < 94 > 95 96 .. 97 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed