Основания геометрии - Лелон-Ферран Ж.
ISBN 5-03-001008-4
Скачать (прямая ссылка):
Отметим строгую аналогию этого рассмотрения с частью Ь) доказательства теоремы 3.1.
7 Ж. Лелон-Ферран
194
ГЛ. V. АКСИОМАТИЧЕСКОЕ ПОСТРОЕНИЕ
Для полноты этой аналогии с теоремой 3.1 можно без труда установить такое обращение теоремы 6.3:
Пусть & — плоскость аффинного типа, такая, что для любой тройки (O9 A9 А') различных коллинеарных точек существует гомотетия h с центром O9 такая, что h(A) = А'. Тогда плоскость 9і дезаргова.
7. ПОСТРОЕНИЕ ТЕЛА, АССОЦИИРОВАННОГО С ДЕЗАРГОВОЙ ПЛОСКОСТЬЮ
Векторные гомотетии
Поскольку гомотетии плоскости аффинного типа сохраняют параллелизм, они переводят любой параллелограмм снова в параллелограмм. Отсюда легко выводится
Предложение 7Л. В плоскости трансляций образы при гомотетии А двух эквиполлентных пар (Л, В) и (C9 D)— также эквиполлентные пары.
Следствие. С каждой гомотетией А плоскости
-> ->
трансляций 9* ассоциируется отображение А из 9* в 9>9 для которого
(V (Л, В) є= 9>2) h(A)h(B) = A (A?). ->
Мы называем А векторной гомотетией и векторной частью h (слово «линейной» не имело бы в данный момент смысла).
Предложение 7.2. Если h — гомотетия плоскости
трансляций то ее векторная часть есть биекция 9>
-> -> ->
на 9\ для которой А(— и) = — h(u) и
(V(и9 V) є= 92) h(u + V) = h(u) +~h(v). (1)
С другой стороны, если A1, A2--две гомотетии
с общим центром, то векторная часть A2QA1 есть —> ->
A2 о A1.
7. ПОСТРОЕНИЕ ТЕЛА
195
Наконец, если А— гомотетия с центром О и т — трансляция, то т ° А^т-1— гомотетия с центром т(О) и с той же векторной частью, что и А.
Доказательство, а) Если A = гомотетия с центром О,
-> -> -> —> ->-
то А — отображение -> OM *—» OA (M), очевидным
образом биективное.
Если и = О Л hu = O? — два элемента то
h(v-u) = h(AB) = h (A) A {B) = Oh (В) - Oh (А)
или
h(v — u) = h(v) — h (и),
-> ->
откуда следуют равенства h(—u) = — h(u) и (1).
Ь) Если А = A2 ° Ai — композиция двух гомотетий с центром О, то для любой пары (Л, В) точек SP
h(A)h(B) = h2(Al)h2(Bl)i где Лї = A1 (Л), O1 = A1 (?), или
h {A) h {B) = A2 (Лjo1) = A2 о A1 (ля),
что и требовалось установить.
с) Если А — гомотетия с центром О и т — трансляция, то А'= т о A-O-T""1 — дилатация, допускающая неподвижную точку т(О), и, следовательно, гомотетия
-> ->
с центром т(О); соотношение А = А следует из того, что для любой пары (Л, В) точек ^ имеем т (Л) т (?) = = AB. ?
Следствие. Векторные гомотетии образуют группу H
биекций 55; если Я0 обозначает группу гомотетий с заданным центром О, то отображение #0->#,
Аь-^А есть изоморфизм групп.
Предложение 7.3. Для каждого вектора и ф О и
->
любой гомотетии К множества 0* вектор Х(и) колли-неарен и.
7*
196
ГЛ. V. АКСИОМАТИЧЕСКОЕ ПОСТРОЕНИЕ
Обратно, если и, v — два ненулевых коллинеарных вектора на дезарговой плоскости то существует
единственная векторная гомотетия Я множества такая, что Х(и) = v.
Доказательство. В силу вышеизложенного дело сводится к известным свойствам гомотетий с данным центром О (предложение 2.1 и теорема 6.3). ?
Полученные свойства позволят нам определить при условии дезарговости векторную структуру
на
> Обозначения и определения. Обозначим через 9і дезаргову плоскость, через со — нулевое отображение
3і (ставящее в соответствие каждому вектору и нулевой вектор) и положим /С=#и{со}, где H по-прежнему обозначает группу векторных гомотетий
Определим Произведение Х\Х ДВуХ ЭЛемеНТОВ Я, [X
из К как их композицию Х^\х, что влечет Ясо = соЯ = = со для всех Я е К.
С другой стороны, образом вектора и при действии элемента Я є К назовем произведение вектора и на Я, обозначаемое просто Ku; тем самым для всех
©w = O и (V (Я, їх) єе К2) X (\хи) = (Х\х) и. (2)
Структура аддитивной группы на К
Предложение 7.4. Если Я, — элементы K9 то -> ->
отображение v: 55-^^, w н-> ^ (и) — Я (w) есть элемент К, который мы обозначим \х — Я.
Доказательство. Для фиксированной точки О в ^ обозначим через / отображение 3і в заданное условием
(VM єе ^) Of (M) = \хОМ - ХОМ.
Тогда точки О, M и /(M) коллинеарны; для любой лары (Л1, N) различных точек
f (M) f (N) = ixMN - XMN. (3)
7. ПОСТРОЕНИЕ ТЕЛА
197
Если X = р, то V = © и результат тривиален. Если X ф р, то соотношение (3) показывает, что / инъективно (см. предложение 7.3) и прямая (/(M)f(N)) параллельна прямой (MN). Обозначая через А некоторую точку в 9*\{0} и полагая A' = J(A)9 мы легко получаем, что / совпадает с гомотетией h с центром O9 удовлетворяющей условию h(A) = A\ хотя мы и не предполагали заранее сюръективности / (см. построение h в доказательстве теоремы 6.1).
Итак, f—гомотетия и v=f. ?
В частности, если р = ©, отображение —X: и^—> +—>—Xu есть элемент К и можно определить сумму двух элементов X +р из К как X + р = X— (—р); тогда
(Vw є ^) (Я + р)и = А,а + 1Ш. (4)
->
Из того что — абелева группа, легко вывести, что (K9 +) есть абелева группа с нейтральным элементом ю.
