Основания геометрии - Лелон-Ферран Ж.
ISBN 5-03-001008-4
Скачать (прямая ссылка):
190
гл. v. аксиоматическое построение
можно определить закон умножения, дистрибутивный справа, который превращает ее в «почти-тело»1) (см., например, [PI] или [ST]). Лишь аксиома Дезарга (см. § 6) позволит нам определить на каждой
->
подгруппе (d, +) структуру тела, а на 9 структуру векторного пространства.
6. ДЕЗАРГОВА ПЛОСКОСТЬ
Определение 6.1. Плоскость аффинного типа называется дезарговой, если выполняется следующая аксиома:
> (D) (Большая аффинная аксиома Дезарга.) Пусть (ABC) и (A'В'С) — два таких треугольника, что прямые (AA'), (BB') и (CC) различны и пересекаются в одной точке; тогда соотношения (ArВ') \\ (AB) и (A'C)W(AC) влекут (В'С) \\ (ВС).
Мы покажем, что всякая дезаргова плоскость является плоскостью трансляций. Для этого нужно доказать, что из аксиомы (D) следует аксиома (d) из теоремы 3.1. Предварительно покажем, что из аксиомы (D) вытекает обратное утверждение, а именно
Предложение 6.1. Пусть (ABC) и (A'В'С') — два треугольника дезарговой плоскости, такие, что прямые (AA')9 (BB') и (CC) различны и удовлетворяют условиям (А'В')\\(АВ), (А'С) W(AC) и (B'C)W(BC)9 Тогда прямые (AA'), (BB') и {CC) пересекаются в одной точке или параллельны.
Доказательство. Если прямые (AA'), (BB') и (CC) не параллельны, то две из них, для определенности (AA') и (BB'), имеют общую точку О; чтобы доказать, что и (CC) проходит через О, допустим противное. Прямая (ОС) не может быть параллельной одновременно прямым {А'С) и (В'С); предположим для определенности, что она пересекает прямую (А'С) в точке С" (рис. 16). Применив свойство
1J В советской литературе более принят термин «система Веблена — Веддерберна». — Прим. перев.
6. ДЕЗАРГОВА ПЛОСКОСТЬ
191
{D) к треугольникам (ABC) и (A'В'С), мы увидим, что соотношения (А'В')\\(АВ) и (А'С") \\ (АС) влекут (B'С") Il (BC)9 и поскольку (В'С) W(BC)9 точки В'9 C9 С" коллинеарны. Так как точки А'9 C9 С' тоже коллинеарны, то С" = C9 откуда и следует коллинеарность O9 C9 С. ?
Теперь мы можем доказать, что из аксиомы (D) вытекает аксиома (d).
Предложение 6.2. Пусть (ABC) и (A'В'С) — два треугольника на дезарговой плоскости, такие, что прямые (AA'), (BB') и (CC) различны и параллельны. Тогда из условий (А'В')\\(АВ) и (А'С)\\ (АС) вытекает и (В'С) W (ВС).
Доказательство. Если бы прямые (В'С) и (ВС) не были параллельными, то проходящая через С параллель к (ВС) пересекала бы прямую (А'В') в некоторой точке В"9 отличной от В' (рис. 17), а прямая (BB") пересекла бы прямую (AA') в некоторой точке О. По предложению 6.1 соотношения
с
Рис. 16
Рис. 17
192
гл. v. аксиоматическое построение
(A'ВГ)\\ (AB), (A'C)W(AC) и (B"C)W(BC) привели бы к пересечению прямых (AAf), (BB') и (CC) в точке О, что противоречит предположению (AA') \\ W(CC'). D
> Следствие. Любая дезаргова плоскость есть плоскость трансляций.
Это утверждение можно также установить, применяя гомотетии (см. упр V. 3).
Существование гомотетий
По изложенному выше аксиома (D) ведет к существованию транзитивной группы трансляций; мы увидим, что она влечет и существование гомотетий с заданным центром.
^ Теорема 6.3. Пусть дезаргова плоскость. Для любой тройки коллинеарных точек (О, А, А'), такой, что А Ф О и А' Ф О, существует единственная гомотетия h с центром О, такая, что h(A) = A'.
Доказательство. Единственность уже была установлена (предложение 2.6). Для доказательства существования h выполним конструкцию, аналогичную той, которую мы провели для трансляции (теорема 3.1).
Ввиду тривиальности случая A = A' предположим, что А'Ф А, и обозначим через SD прямую (OAA'). Выберем точку В є 9\SD и обозначим через В' точку пересечения прямой (OB) с проведенной через А' параллелью к (AB). Определим теперь отображение h плоскости SP в & следующими условиями:
i) h(0) = 0;
ii) если M є & \SD, то точка M' = h(M) колли-неарна с О и M и (A'M')W(AM) (рис. 18);
iii) если M є SD \ {О}, то M' = h(M) коллинеарна с О я M и (В'М')W(BM) (рис. 19).
Очевидно, что h есть биекция 9 на 9, имеющая единственную неподвижную точку О. Для того чтобы доказать, что h — гомотетия, достаточно проверить, что для любой пары точек (М, N) из 9\{0} точки
6. ДЕЗАРГОВА ПЛОСКОСТЬ
193
Af' = A(Af) и N' = h(N) удовлетворяют условию (M'N') Il (MN).
Первый случай. Ни одна из точек M1 N не принадлежит прямой S) = (AA') (рис. 18).
В этом случае из (A'M')|| (AM) и (A'N')\\ (AN)9 применяя (D), получим (M'N') \\ (MN).
Второй случай. Обе точки M1 N принадлежат прямой S)\ тогда прямые (MN) и (M'N') совпадают.
Третий случай. Точка M лежит на прямой S) = = (AA'), а точка N не лежит ни на какой из прямых (AA'), (BB') (см. рис. 19).
Рис. 18 Рис. 19
Первое применение аксиомы (D) дает (B'N')\\ W(BN)1 и поскольку (B'M') \\ (BM) по построению, повторное применение (D) дает (M'N')W(MN).
Четвертый случай. Точка M лежит на прямой (AA'), а точка N на прямой (BB') (построение рисунка предоставляется читателю).
Так как плоскость 9 не может сводиться к объединению пары пересекающихся прямых (AA'), (BB') (см. упр. V. 2), то в 9 найдется точка P1 не принадлежащая ни одной из этих прямых. Положим P' = = h(P). Обращаясь к первому случаю, найдем, что (N'P') Il (NP). Согласно третьему случаю, (M'P') \\ 11(AlP). Отсюда (AfW)II(AfN) получается новым применением аксиомы (D). ?
