Основания геометрии - Лелон-Ферран Ж.
ISBN 5-03-001008-4
Скачать (прямая ссылка):
Предложение 5.1. Пусть (A1 В)—пара точек 9. Проекциями пары (Л, В) в направлении б на две параллельные прямые S)1 S)' являются две эквиполлент-ные пары (C1 D), (C1 D').
Рис. 12 Рис. 13
Доказательство. Если C = D, то прямая (AB) имеет направление б и С = D'.
Если С Ф D1 то (CDD'C)— параллелограмм (рис. 12), откуда и вытекает результат.
Предложение 5.2. Образами при одном и том же проектировании р двух эквиполлентных пар (A1 В) и (C1 D) являются две эквиполлентные пары (A'', В') и (C1D').
Доказательство. Пусть р — проектирование в направлении б на прямую S) и т —- трансляция, переводящая (A1 В) в (C1 D) (см. следствие из предложения 4.2). Пусть C1 D" — проекции C1 D в направлении б на прямую S)' = %(S>) (рис. 13). Тран-
5. малая теорема фалеса в плоскости трансляций
сляция т сохраняет параллелизм и С" = %(А')9 D" = = %(В')> откуда С"D" = А'В'. Далее, предложение 5Л показывает, что CD" = С'и и, следовательно, AB' = С D'. ?
В тех же обозначениях из предложений 5Л, 5.2 —>-->
следует, что вектор А'В' = р (Л) р (В) зависит только
от вектора AB9 направления б проектирования р и направления d прямой 2D\ мы будем обозначать его
nbd(AB). Таким путем получаем отображение п% из 9у на подгруппу (dt +), состоящую из векторов направления d (см. конец § 4). Более того, если и = AB и V = AC- два произвольных вектора, то
n*d(v-u) = n*d(BC) = p(B)p(C) =
= P(A)P(C) - P(A)P(B) = я« (V) - я* (и). Итак, можно сформулировать
Предложение 5.3, Для любой пары (dt б) различных направлений прямых существует гомоморфизм л6а
из SP на группу (d, +) векторов направления d, такой, что для любой прямой 3) направления d и любой
пары (Л, ?)<=^2 выполнено (Л) р% (В) = п% (AB).
Мы называем nod проектированием SP на d в направлении б. Ядром этого гомоморфизма является, очевидно, подгруппа (б, +)> состоящая из векторов направления б. Отсюда вытекает
> Теорема 5.4. Пусть d, d', б — три направления различных прямых. Тогда ограничение nbd на (d\ +)
есть изоморфизм (d'y +) на (d, +)•
Теорема 5.4 представляет собой «малую теорему Фалеса». которой при обучении придается наглядность с помощью такого ее следствия:
188 ГЛ. V. АКСИОМАТИЧЕСКОЕ ПОСТРОЕНИЕ
Следствие. Пусть 3), Ф' — две произвольные прямые плоскости трансляций б — направление, отличное от направлений прямых 3), 3)', и р— ограничение на 3) проектирования в направлении б плоскости & на прямую 3)'. Если Аи An — последовательность точек 3), таких, что
A^A2 = A^A3 = ... = An_xAni то их проекции Л, = р(Л,) удовлетворяют равенствам
А[А'2 = А'2А'Ъ = ... r=zA'n_{A'n.
Коротко говорят, что проекция правильного подразделения 3) есть правильное подразделение 3)'.
Из этих результатов мы выведем одно примечательное свойство группы векторов плоскости 9>.
^ Предложение 5.5. Пусть 9> — плоскость трансляций, (59, +) — группа ее векторов и п ^ 2 — целое число.
a) Если существует вектор аФО, такой, что
->
па = О, то пи = 0 для всякого и^ ?Р.
b) Если существует вектор а, такой, что па Ф О, то для каждого вектора и найдется единственный вектор vt такой, что nv = и.
Доказательство. Мы можем считать, что и ф 0.
a) Предположим, что па = 0 для некоторого а ф 0. Пусть и — вектор, неколлинеарный а\ если d — направление и и б — направление а — «, то л;^ (а) = и (рис. 14), и по предложению 5.3 имеем п^(па) = = пи = 0.
Если па = 0, а ф 0 и и коллинеарен а, то мы можем применить предыдущий результат к ненулевому вектору 6, неколлинеарному а. Тогда nb — 0, откуда (в силу неколлинеарности и и Ь) пи = 0.
b) Если па ф 0, то а) показывает, что nb ф 0 для любого Ъ ф 0.
При заданном векторе w ^ 0 мы можем выбрать Ь ф 0, неколлинеарный Если d и б обозначают соответственно направления и и то вектор
5. малая теорема фалеса в плоскости трансляций 189
v = nod(b) (рис. 15) удовлетворяет равенству nv =
= 7l6d (ПО) = U.
Наконец, если V9 v'— два вектора, для которых nv = nv'= U9 то n(v' — v) = 0 и, значит, v' = v. ?
Следствие. Пусть р—наименьшее целое ^1, для которого можно указать вектор а ф О, такой, что ра = 0 (если такое р существует); если такого р нет, то положим р = 0 (в обоих случаях р назовем характеристикой Ф).
Рис. 14 Рис. 15
a) Если р ф O9 то р — простое число.
b) В любом случае, если целое п ^ 1 не является
->
кратным р и и ^ 9і— произвольный вектор, то существует вектор V9 такой, что nv = и.
Доказательство, а) Если р Ф О и не является простым, то можно положить р = тп9 где 1 < т < р и 1 < п < р. Тогда при па ф О (а ф 0) соотношение т(па) = тпа = 0 противоречит определению р.
Ь) Если р Ф0 и целое п ^ 1 не является кратным р9 то, разделив п на р, получим п = pq -\- г9 где 0 < <г<р и, следовательно, па = га ф 0, что позволяет применить предложение 5.5. При р = 0 результат получается немедленно. ?
->
Отсюда вытекает, что 9і допускает структуру век-горного пространства над Q9 если р ф 0, и структуру векторного пространства над Zp9 если р Ф 0.
Эти результаты показывают, что аддитивная группа 3 не является произвольной. Более глубокое исследование показывает, что на каждой подгруппе (d9 +)
