Основания геометрии - Лелон-Ферран Ж.
ISBN 5-03-001008-4
Скачать (прямая ссылка):
4. векторное исчисление в плоскости трансляций 183
С не коллинеарны). Подобным же образом трансляции ф о а = и тоф_1 = т^ коммутируют (в силу неколлинеарности точек A1 P1 С). Следовательно, т о а = (т о ф-1) о (ф о а) = (ф о о) о (т о ф-1) = = (а о ф) о (ф~ 1 о т) = о о X1
откуда a°T = TooBO всех случаях.
Заметим, что в случае Ь) используется транзитивность группы трансляций. ?
4. ВЕКТОРНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ В ПЛОСКОСТИ ТРАНСЛЯЦИЙ
Отношение эквиполлентности
Определение 4Л. Две (упорядоченные) пары точек (A1B) и (C1D) плоскости трансляций <Р называются эквиполлентными, если (в обозначениях предыдущего параграфа) т^ = т?.
Определенное так отношение очевидным образом является отношением эквивалентности на ^2. Классы эквивалентности называем векторами-, вектор, представляемый парой (A1B)1 обозначаем AB. Множество
всех векторов на 3і будет обозначаться
В частности, пары вида (A1A)1 где Ле^, образуют класс эквивалентности, называемый нулевым
вектором и обозначаемый О или просто 0.
Если и = АВ — ненулевой вектор, то направление прямой (AB) не зависит от выбора представителя (A1B) вектора и\ действительно, если (C1 D) — другой представитель U1 то соотношение т? = хвА влечет (CD) Il (ЛВ). По определению направление ненулевого вектора и = AB есть направление прямой (AB); два ненулевых вектора называются коллш.еарными, если они имеют общее направление.
Геометрическая интерпретация эквиполлентности
Из построения образа точки M при трансляции т? (предложение 2.4), с изменением обозначений, выводится следующее правило:
184 гл. v. аксиоматическое построение
Предложениє 4.1. а) Если A = B, то AB = CD равносильно C = D.
b) Если А, В, С не коллинеарны, то AB = CD равносильно утверждению «(ABCD) — параллелограмм».
c) Если А, В, С коллинеарны и А Ф В, то AB = CD равносильно существованию таких двух точек Е, F, что (ABFE) и (CDFE) — параллелограммы.
Можно было бы непосредственно изучать отношение эквиполлентности, приняв это правило за определение; симметричность и рефлексивность определенного таким способом бинарного отношения очевидны. Однако доказательство транзитивности исходя из аксиомы (d) (см. § 3) потребовало бы рассуждений, аналогичных тем, которые встретились в части Ь) доказательства теоремы 3.1.
Трансляции, совмещающие пары точек
Предложение 4.2. Эквиполлентность AB = CD равносильна эквиполлентности AC = BD.
Доказательство. В принятых обозначениях имеем тл = тв0Тл и T? = Tc0T?.
'С другой стороны, коммутативность группы трансляций и СООТНОШеНИе Ъд = Ъс влекУт тл — та°тв =
= TgoTg = T?. _^ ^ _^ ^
Иными словами, из AB = CD следует AC = BD; противоположная импликация получается изменением обозначений.
Следствие. Для существования трансляции, отображающей пару (А, В) на пару (C,D), необходимо
и достаточно, чтобы AB = CD.
Аддитивная группа векторов
По определению трансляция %ВА зависит только
от вектора и = АВ; обозначим ее ти и будем называть ее трансляцией на вектор и.
4. ВЕКТОРНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ В ПЛОСКОСТИ ТРАНСЛЯЦИЙ 18S
При таких обозначениях отображение иь->ти
есть биекция множества векторов 3> плоскости 9 на
группу д~ трансляций <р\ эта биекция позволяет пе-->
ренести на 9 структуру группы Поскольку эта группа абелева, мы примем аддитивные обозначения и введем
Определение 4.2. Суммой u + v двух векторов назовем ВеКТОр ТраНСЛЯЦИИ Tu 0Tv = Tv JLTu-
->
Тогда очевидно, что (<Р9 +) есть абелева группа с нулевым вектором в качестве нейтрального элемента. С другой стороны, предложение 2.4 и определение 3.1 позволяют нам высказать
Предложение 4.3. Для всякой точки Лє^ и
всякого вектора и существуют единственная точка В
—> —>
и единственная точка С, такие, что AB = U9 CA = и.
Иначе говоря, можно произвольно выбрать на-чальную или конечную точку пары, представляющей вектор и.
Предложение 4.4. Каковы бы ни были точки A9 Вг С плоскости 9*9 выполняется соотношение Шаля
AC = AB + ВС.
В частности (если C = A)9 вектор BA противоположен вектору AB.
В самом деле, по определению 4.2, AB + ВС есть вектор трансляции ^%°^ = ^
Заметим, наконец, что векторы заданного направ-
ления d образуют подгруппу группы (3, +), которую
мы обозначим {d9 -j-)1), действительно, если U = AB
vi V = AC имеют общее направление dt то точки Л,
B9 С коллинеарны и вектор v — и = ВС имеет то же направление, что и и v.
1) При этом предполагается, что нулевой вектор принадлежит каждому направлению. — Прим. перев.
186
ГЛ. V. АКСИОМАТИЧЕСКОЕ ПОСТРОЕНИЕ
б. МАЛАЯ ТЕОРЕМА ФАЛECA В ПЛОСКОСТИ ТРАНСЛЯЦИЙ
Понятие проектирования немедленно распространяется на плоскости аффинного типа: пусть 9 — такая плоскость, S)— прямая в 9 и б — направление прямой, отличное от направления 3). Тогда проектирование 9 на S) в направлении б есть отображение Р%: которое каждой точке М^<р ставит в
соответствие точку пересечения S) с прямой направления б, проходящей через М.
Начиная отсюда предполагается, что 9 — плоскость трансляций. Тогда имеет место
