Основания геометрии - Лелон-Ферран Ж.
ISBN 5-03-001008-4
Скачать (прямая ссылка):
Доказательство. Обозначим прямую (IAA') через 2Dy и пусть / —- гомотетия с центром /, такая, что 1(A) = A'. Заметим прежде всего, что образ M' точки M из $\2D однозначно определен условиями «(I9MyM') коллинеарны» и (А'М')\\(АМ). Фиксируем такую точку М\ образ Pf произвольной точки P из
M
Рис. 3
Рис. 4
3. плоскости трансляций
179
<Ю\{1} определяется условиями Р'є2) и (Р'М')\\ Il (PM) (см. рис. 5). Значит, гомотетия / единственна. ?
Предложение 2.7. Гомотетии с заданным центром / образуют группу.
В самом деле, если /, g — гомотетии с центром /, то gif~l—дилатация с неподвижной точкой /.
Рис. 5.j ® a a' P Р*
3. ПЛОСКОСТИ ТРАНСЛЯЦИЙ
Изучение, проведенное в § 2, побуждает нас заинтересоваться прежде всего теми плоскостями аффинного типа, на которых группа трансляций действует транзитивно. Введем
> Определение 3.1. Плоскость аффинного типа <р называется плоскостью трансляций, если для любой пары (A1A') точек SP существует такая трансляция т, что % (А) = А'.
По предложению 2.4 такая трансляция единственна; мы обозначим ее
Покажем, что наложенное требование равносильно геометрическому свойству, проверяемому по чертежу.
^ Теорема 3.1. Для того чтобы плоскость аффинного типа SP была плоскостью трансляций, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось следующее условие:
> (d) (Малая аффинная аксиома Дезарга.) Если (ABC) и (А'В'С)— два треугольника, таких, что (AAf), (BB') и (CC) — три параллельные и различ-
180
ГЛ. V. АКСИОМАТИЧЕСКОЕ ПОСТРОЕНИЕ
ные прямые, то из соотношений (A'В') \\ (АВ) и (A'С) Il (АС) вытекает (B'С) || (ВС).
Иными словами: если (ABB'А') и (ACCA')—па-раллелограммы и точки B9 C9 В'9 С не коллинеарны, то (BCCB') — параллелограмм.
Доказательство, а) Условие необходимо. Если <р — плоскость трансляций и (ABB'A'), (ACCA')—параллелограммы на 3*9 то трансляция т = т*' удовлетворяет соотношениям i(B) = B' и т(С)= С (следствие из предложения 2.3). Значит, (В'С)\\(ВС).
В в' AM N A' M' N4
Рис. 6 Рис. 7
Ь) Условие достаточно. Пусть плоскость аффинного типа 9 удовлетворяет аксиоме (d) и (A9A') — пара точек Существование трансляции, для которой т(А) = А', тривиально, если A = A'; поэтому положим А'ф А и построим пару точек (B9B') в 9, таких, что (ABB'А')—параллелограмм. Тогда мы получим отображение T плоскости 9 в определив образ M' = т (M) точки M следующими условиями (см. рис. 6 и 7):
i) если M не принадлежит прямой (AA'), то (AMM'А')— параллелограмм;
ii) если M принадлежит прямой (AA'), то (BMM'В')— параллелограмм.
Очевидно, что т есть биекция 3і на 9, для которой х (A) = A', и что т не имеет неподвижных точек. Мы докажем, что для любой пары (M9 N) точек 9 точки M' = т (M)9 N' = т (N) удовлетворяют условию (M'N') W(MN).
Первый случай. Ни одна из точек M9 N не принадлежит прямой (AA'). Тогда (AMM'А') и (ANN'А') —
3. плоскости трансляций
181
параллелограммы (см. рис. 6). Следовательно, если точки М, M', N, N' не коллинеарны, то соотношение (M'N')W(MN) вытекает из аксиомы (d).
Второй случай. Обе точки М, N принадлежат прямой {AA') (см. рис. 7). Тогда и точки M', N' принадлежат этой прямой, и результат очевиден.
Третий случай. Точка M принадлежит прямой {AA'), а точка N не принадлежит ни одной из прямых (AA'), (BB').
По построению, (BMM'В'), (BAA'В'), (ANNfА') — параллелограммы (см. рис. 8). Первое применение аксиомы (d) показывает, что (BNN'В')—параллело-
n n' p_P'
Рис. 8 Рис. 9
грамм, повторное применение этой аксиомы показывает, что и (MNN'M') — параллелограмм, откуда (M N')\\(MN).
Четвертый случай. Точка M принадлежит прямой (AA'), а точка N—прямой (BB') (см. рис. 9).
Заметим сначала, что плоскость 0і сводится к объединению прямых (AA') и (BB') лишь тогда, когда она состоит из четырех точек А, А', В, В' (см. упр. V. 1).
Так как этот случай был рассмотрен отдельно (предложение 1.5), мы можем предположить, что существует точка Р, не лежащая ни на одной из прямых (AA'), (BB').
Положим P' = т(P); рассмотрение первого случая показывает, что (NPP'N')—параллелограмм; третий случай показывает, что (MPP'M') — параллелограмм. Применяя аксиому (d), выведем отсюда, что
182
гл. v. аксиоматическое построение
(MNN'M') — параллелограмм; таким образом,
В итоге т есть трансляция, для которой т(Л) = = Л'. ?
^ Теорема 3.2. Группа трансляций плоскости трансляций 9 коммутативна.
Доказательство. Пусть а, т — две трансляции и А — произвольная точка плоскости 9. Положим G(A) = B иг(В)=С.
а
Рис. 10
Рис. И А ~сГ^ В С
a) Если точки Л, S, С не коллинеарны, то точка D = x(A) определяется условием «(ABCD) есть параллелограмм», и поскольку /? = а(Л), то C = G(D) (см. рис. 10), откуда G^x(A)= g(D)= С = %(В) = = xjjj(A). Предложение 2.4 показывает, что тогда (jj5t = т ° о.
b) Если точки Л, S, С коллинеарны, выберем точку P9 не лежащую на прямой (ABC) (см. рис. 11), и обозначим через Ф = т? такую трансляцию, что ц(В) = Р. В силу доказанного в п. а) трансляции ф и ф-1 коммутируют сайт (так как, с одной стороны, точки A9 B9 P и9 с другой стороны, точки P9 B9
